ITA 2011 — questão 8 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o valor de $t_1T_1 + t_2T_2$, em que $T$ é o tempo até o ponto mais alto e $t$ é o tempo até um ponto $(X, Y)$ por onde passam as duas trajetórias.

Passo 1 — cada produto $tT$. Até o ponto mais alto, a velocidade vertical zera: $T_1 = v_0\,\text{sen}\alpha/g$. Até o ponto comum, o movimento horizontal é uniforme: $t_1 = X/(v_0\cos\alpha)$. Então:

$$t_1 T_1 = \frac{X}{v_0\cos\alpha} \cdot \frac{v_0\,\text{sen}\alpha}{g} = \frac{X\,\text{tg}\alpha}{g}$$

e, do mesmo modo, $t_2T_2 = X\,\text{tg}\beta/g$. Logo $t_1T_1 + t_2T_2 = X(\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta)/g$.

Passo 2 — a soma das tangentes. A equação da trajetória de um lançamento com ângulo $\theta$, usando $1/\cos^2\theta = 1 + \text{tg}^2\theta$, é:

$$y = X\,\text{tg}\theta - \frac{g X^2}{2v_0^2}\,(1 + \text{tg}^2\theta)$$

Para o ponto comum $(X, Y)$, ela é uma equação do 2º grau em $u = \text{tg}\theta$, e suas duas raízes são justamente $\text{tg}\alpha$ e $\text{tg}\beta$:

$$\frac{gX^2}{2v_0^2}\,u^2 - X u + \left(Y + \frac{gX^2}{2v_0^2}\right) = 0$$

Pela soma das raízes (−b/a):

$$\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta = \frac{X}{gX^2/(2v_0^2)} = \frac{2v_0^2}{gX}$$

Passo 3 — o resultado.

$$t_1T_1 + t_2T_2 = \frac{X}{g} \cdot \frac{2v_0^2}{gX} = \frac{2v_0^2}{g^2}$$

O resultado não depende dos ângulos, nem do ponto comum, nem da massa.

Conferindo num caso particular: se o ponto comum estiver no chão ($Y = 0$), os ângulos são complementares ($\beta = 90^{\circ} - \alpha$) e cada partícula leva o dobro do tempo de subida: $t_1 = 2T_1$, $t_2 = 2T_2$. Então:

$$2(T_1^2 + T_2^2) = \frac{2v_0^2(\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha)}{g^2}$$

que é $2v_0^2/g^2$. Confere.

⚠️ A armadilha: achar que a resposta tem que depender dos ângulos (A, C, D, E) e chutar uma delas. O caso particular acima mostra, em uma linha, que a expressão vale $2v_0^2/g^2$ para qualquer α.

A ideia em uma frase: pelo mesmo ponto passam duas trajetórias de mesmo v₀, e a soma das tangentes dos dois ângulos é 2v₀²/(gX), o que faz o X sumir da conta.

Resposta: alternativa B ($2v_0^2/g^2$).