ITA 2011 — questão 5 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a aceleração da bola quando ela está afastada $x$ da linha das molas, para $x$ pequeno comparado a $\ell_0$.

Passo 1 — quanto cada mola estica. Com a bola deslocada, cada mola vira a hipotenusa de um triângulo de catetos $\ell_0$ e $x$. Usando a aproximação dada com $\alpha = 1/2$:

$$L = \ell_0\left(1 + \frac{x^2}{\ell_0^2}\right)^{1/2}$$

$$L \approx \ell_0\left(1 + \frac{x^2}{2\ell_0^2}\right)$$

$$\Delta L = L - \ell_0 \approx \frac{x^2}{2\ell_0}$$

Passo 2 — a força de cada mola e sua componente útil. Cada mola puxa a bola ao longo de si mesma com $F = k\,\Delta L$. As componentes paralelas à linha inicial se cancelam (uma mola puxa para cada lado); sobram as componentes perpendiculares, que apontam de volta para a linha. O seno da inclinação é $x/L \approx x/\ell_0$:

$$F_{\perp} = k\,\frac{x^2}{2\ell_0} \cdot \frac{x}{\ell_0} = \frac{k x^3}{2\ell_0^2}$$

Passo 3 — somando as duas molas. As duas componentes perpendiculares têm o mesmo sentido (contra o deslocamento):

$$F_R = 2 \cdot \frac{k x^3}{2\ell_0^2} = \frac{k x^3}{\ell_0^2}$$

$$a = -\frac{k x^3}{M \ell_0^2}$$

O sinal negativo indica que a aceleração aponta de volta para a linha das molas.

Conferindo: dimensão: $k x^3/(M\ell_0^2)$ tem $(\text{N/m})\cdot\text{m}^3/(\text{kg}\cdot\text{m}^2) = \text{m/s}^2$. E faz sentido a força ser muito fraca para $x$ pequeno: as molas, de comprimento natural $\ell_0$, quase não esticam quando a bola sai pouco da linha, e ainda puxam quase na horizontal.

⚠️ A armadilha: esquecer que são duas molas e parar em $kx^3/(2M\ell_0^2)$, que é a alternativa D. Outro erro é tratar o deslocamento $x$ como se fosse a deformação da mola e marcar A: a deformação é só $x^2/2\ell_0$, e a força ainda precisa ser projetada.

A ideia em uma frase: com molas sem tensão inicial, um deslocamento transversal pequeno gera uma força restauradora proporcional a $x^3$, e não a $x$: o movimento não é um MHS.

Resposta: alternativa E ($a = -kx^3/M\ell_0^2$).