ITA 2008 — questão 9 de Física

Gabarito CFísica moderna — aniquilação elétron-pósitron e energia de repousoProva de Física · testes 1 a 20
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 9 de Física do ITA 2008

Enunciado em texto

Um elétron e um pósitron, de massa m = 9,11 x 10−31^{-31} kg, cada qual com energia cinética de 1,20 MeV e mesma quantidade de movimento, colidem entre si em sentidos opostos. Neste processo colisional as partículas aniquilam-se, produzindo dois fótons γ1\gamma_1 e γ2\gamma_2. Sendo dados: constante de Planck h = 6,63 x 10−34^{-34} J.s; velocidade da luz c = 3,00 x 108^8 m/s; 1 eV = 1,6 x 10−19^{-19} J; 1 femtometro = 1 fm = 1 x 10−15^{-15} m, indique os respectivos valores de energia E e do comprimento de onda dos fótons.

[Figura: o elétron (e−e^-) vem da esquerda e o pósitron (e+e^+) vem da direita, sobre a mesma reta, um contra o outro. Do ponto de encontro saem dois fótons (setas onduladas): γ1\gamma_1 para cima e para a direita, e γ2\gamma_2 para baixo e para a esquerda, em sentidos opostos.]

A) E = 1,20 MeV ; λ = 2435 fm

B) E = 1,20 MeV; λ = 1035 fm

C) E = 1,71 MeV; λ = 726 fm

D) E = 1,46 MeV; λ = 0,28 x 10−2^{-2} fm

E) E = 1,71 MeV; λ = 559 fm

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2008, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: a energia e o comprimento de onda de cada fóton produzido na aniquilação.

Passo 1 — os fótons têm a mesma energia. As duas partículas têm quantidades de movimento iguais e opostas: o total é zero. Depois, os dois fótons também precisam somar quantidade de movimento zero, então têm momentos iguais e opostos. Como a energia de um fóton é E = pc, os dois têm a mesma energia.

Passo 2 — a energia de repouso. Na aniquilação, some toda a massa, e não só a energia cinética. A energia de repouso de cada partícula é:

mc2=9,11×10−31×(3×108)2m c^2 = 9{,}11 \times 10^{-31} \times (3 \times 10^{8})^2

mc2=8,20×10−14 Jm c^2 = 8{,}20 \times 10^{-14}\ \text{J}

mc2=8,20×10−141,6×10−13 MeVm c^2 = \frac{8{,}20 \times 10^{-14}}{1{,}6 \times 10^{-13}}\ \text{MeV}

mc2≈0,512 MeVm c^2 \approx 0{,}512\ \text{MeV}

(usamos 1 MeV = 1,6 × 10⁻¹³ J).

Passo 3 — conservação da energia. A energia total de cada partícula (repouso + cinética) vai para um fóton:

E=0,512+1,20≈1,71 MeVE = 0{,}512 + 1{,}20 \approx 1{,}71\ \text{MeV}

Passo 4 — o comprimento de onda:

λ=hcE\lambda = \frac{hc}{E}

λ=6,63×10−34×3×1081,71×1,6×10−13\lambda = \frac{6{,}63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{1{,}71 \times 1{,}6 \times 10^{-13}}

λ=1,989×10−252,74×10−13\lambda = \frac{1{,}989 \times 10^{-25}}{2{,}74 \times 10^{-13}}

λ≈7,26×10−13 m=726 fm\lambda \approx 7{,}26 \times 10^{-13}\ \text{m} = 726\ \text{fm}

⚠️ A armadilha: esquecer a energia de repouso e dar a cada fóton só a energia cinética, 1,20 MeV. O comprimento de onda sairia hc/E = 1,989 × 10⁻²⁵ / 1,92 × 10⁻¹³ ≈ 1036 fm: é a alternativa B, montada exatamente com esse erro.

A ideia em uma frase: na aniquilação, a massa inteira vira energia: cada fóton leva mc2mc^2 mais a energia cinética de uma partícula.

Resposta: alternativa C (E ≈ 1,71 MeV; λ ≈ 726 fm).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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