ITA 2008 — questão 15 de Física

Gabarito AOndas — reflexão e transmissão de um pulso na junção de duas cordasProva de Física · testes 1 a 20

Enunciado da questão 15 de Física do ITA 2008 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

No estudo de ondas que se propagam em meios elásticos, a impedância característica de um material é dada pelo produto da sua densidade pela velocidade da onda nesse material, ou seja, z = μ v . Sabe-se, também, que uma onda de amplitude a₁, que se propaga em um meio 1 ao penetrar em uma outra região, de meio 2, origina ondas, refletida e transmitida, cuja amplitudes são, respectivamente:

$a_r = \left[\frac{\frac{z_1}{z_2} - 1}{\frac{z_1}{z_2} + 1}\right] a_1$

$a_t = \left[\frac{2}{1 + \frac{z_2}{z_1}}\right] a_1$

Num fio, sob tensão τ, a velocidade da onda nesse meio é dada por $v = \sqrt{\dfrac{\tau}{\mu}}$ . Considere agora o caso de uma onda que se propaga num fio de densidade linear μ (meio 1) e penetra num trecho desse fio em que a densidade linear muda para 4μ (meio 2). Indique a figura que representa corretamente as ondas refletidas (r) e transmitida (t)?

[Em todas as alternativas, o fio fino (meio 1) está à esquerda e o fio grosso (meio 2) à direita.]

A) [Figura: no meio 1, o pulso refletido r, pequeno e para baixo; no meio 2, o pulso transmitido t, para cima, com cerca do dobro da altura de r. O pulso r está mais longe da junção que o pulso t (cerca do dobro da distância).]

B) [Figura: no meio 1, o pulso refletido r, pequeno e para baixo; no meio 2, o pulso transmitido t, para cima, com cerca do dobro da altura de r. Aqui o pulso t está mais longe da junção que o pulso r.]

C) [Figura: no meio 1, o pulso refletido r, pequeno e para cima; no meio 2, o pulso transmitido t, para cima e maior.]

D) [Figura: no meio 1, o pulso refletido r, pequeno e para cima; no meio 2, o pulso transmitido t, para baixo.]

E) [Figura: no meio 1, o pulso refletido r, grande e para baixo; no meio 2, o pulso transmitido t, para cima, com cerca de metade da profundidade de r.]

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2008, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: o desenho certo dos pulsos refletido e transmitido quando a onda passa de um fio leve para um fio quatro vezes mais denso.

Passo 1 — a impedância de cada trecho. Com $v = \sqrt{\tau/\mu}$ :

$z = \mu\,v = \mu\sqrt{\frac{\tau}{\mu}} = \sqrt{\tau\,\mu}$

A tensão é a mesma nos dois trechos (é o mesmo fio, em equilíbrio). Então:

$\frac{z_2}{z_1} = \sqrt{\frac{4\mu}{\mu}} = 2$

Passo 2 — as amplitudes:

$a_r = \frac{\frac{1}{2} - 1}{\frac{1}{2} + 1}\,a_1 = -\frac{a_1}{3}$

$a_t = \frac{2}{1 + 2}\,a_1 = \frac{2a_1}{3}$

O refletido volta invertido (sinal −), com um terço da amplitude; o transmitido segue direito, com dois terços: o dobro do refletido. Isso elimina C e D (refletido para cima) e E (refletido maior que o transmitido). Sobram A e B.

Passo 3 — onde cada pulso está. No fio grosso a onda é mais lenta:

$v_2 = \sqrt{\frac{\tau}{4\mu}} = \frac{v_1}{2}$

Desde o instante em que o pulso chegou à junção, o refletido percorreu, no meio 1, o dobro da distância que o transmitido percorreu no meio 2. Logo, o refletido tem de estar mais longe da junção. É o que mostra a figura A; a B mostra o contrário.

Conferindo pela energia: a potência levada por um pulso é proporcional a $z\,a^2$ . Fração refletida: $(1/3)^2 = 1/9$ ; fração transmitida: $2 \times (2/3)^2 = 8/9$ . Soma 1: nada se perde na junção.

(A rigor, o pulso transmitido também deveria ficar mais estreito, com metade da largura, porque anda mais devagar. As figuras não capricham nesse detalhe, mas amplitudes e posições já bastam para decidir.)

⚠️ A armadilha: parar na conta das amplitudes e ficar entre A e B na sorte. A diferença entre elas está na velocidade: no fio mais denso a onda anda mais devagar e, por isso, o pulso transmitido fica mais perto da junção (alternativa B é o erro).

A ideia em uma frase: ao passar para um fio mais denso, o pulso refletido volta invertido e o transmitido segue direito, mais lento.

Resposta: alternativa A (refletido invertido com 1/3 da amplitude, mais longe da junção; transmitido direito com 2/3).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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