ITA 2008 — questão 13 de Física

Gabarito DDinâmica — conservação da quantidade de movimento: gato que salta sobre uma pranchaProva de Física · testes 1 a 20

Enunciado da questão 13 de Física do ITA 2008 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Na figura, um gato de massa m encontra-se parado próximo a uma das extremidades de uma prancha de massa M que flutua em repouso na superfície de um lago. A seguir, o gato salta e alcança uma nova posição na prancha, à distância L. Desprezando o atrito entre a água e a prancha, sendo θ o ângulo entre a velocidade inicial do gato e a horizontal, e g a aceleração da gravidade, indique qual deve ser a velocidade u de deslocamento da prancha logo após o salto.

[Figura: uma prancha (desenhada em perspectiva, como uma elipse) flutua num lago. O gato está perto de uma das pontas; dele sai o vetor $\vec{v}$ , inclinado de θ em relação à horizontal, apontando para o outro lado da prancha. Embaixo, uma cota L ao longo da prancha.]

A) $u = \sqrt{\dfrac{gLM}{\left(1+\frac{M}{m}\right) m\,\text{sen}\,\theta\cos\theta}}$

B) $u = \sqrt{\dfrac{gLM}{\left(1+\frac{M}{m}\right) 2m\,\text{sen}\,2\theta}}$

C) $u = \sqrt{\dfrac{gLM}{\left(1+\frac{M}{m}\right) 2m\,\text{sen}\,\theta}}$

D) $u = \sqrt{\dfrac{gLm}{\left(1+\frac{M}{m}\right) 2M\tan\theta}}$

E) $u = \sqrt{\dfrac{2gLm}{\left(1+\frac{M}{m}\right) M\tan\theta}}$

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2008, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: a velocidade com que a prancha recua logo depois que o gato salta.

Passo 1 — o recuo da prancha. Sem atrito com a água, não há força horizontal externa no sistema gato + prancha, que estava parado. A quantidade de movimento horizontal continua zero. Tomando $\vec{v}$ como a velocidade do gato em relação à água:

$m\,v\cos\theta = M\,u$

$v = \frac{M\,u}{m\cos\theta}$

Passo 2 — o tempo de voo. Na vertical, o gato é um lançamento oblíquo comum (a prancha não interfere enquanto ele está no ar):

$t = \frac{2\,v\,\text{sen}\,\theta}{g} = \frac{2M\,u\tan\theta}{m\,g}$

Passo 3 — a distância L é medida na prancha. Enquanto o gato avança $v\cos\theta$ por segundo para um lado, a prancha recua u por segundo para o outro. Em relação à prancha, o gato se afasta com $v\cos\theta + u$ :

$v\cos\theta + u = \frac{M}{m}u + u$

$v\cos\theta + u = u\left(1 + \frac{M}{m}\right)$

$L = u\left(1 + \frac{M}{m}\right)\cdot\frac{2M\,u\tan\theta}{m\,g}$

Passo 4 — isolar u:

$u^2 = \frac{g\,L\,m}{\left(1 + \frac{M}{m}\right) 2M\tan\theta}$

$u = \sqrt{\frac{g\,L\,m}{\left(1 + \frac{M}{m}\right) 2M\tan\theta}}$

Conferindo: a unidade de gL é (m/s)², e as massas e a tangente não têm unidade: u sai em m/s. E, se a prancha for muito pesada (M → ∞), u → 0, como esperado.

⚠️ A armadilha: medir L em relação à água, como no alcance de um lançamento oblíquo comum, esquecendo que a prancha anda para trás durante o voo. Isso faz sumir o fator (1 + M/m) que aparece em todas as alternativas e não leva a nenhuma delas.

A ideia em uma frase: o gato empurra a prancha para trás (conservação do momento), e a distância na prancha usa a velocidade relativa entre os dois.

Resposta: alternativa D ( $u = \sqrt{gLm/[(1+M/m)\,2M\tan\theta]}$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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ITA 2008 — questão 13 de Física

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