ITA 2008 — questão 20 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o trabalho que se faz sobre o oxigênio para comprimi-lo adiabaticamente até metade do volume.

Passo 1 — o gás é diatômico. O oxigênio ($\text{O}_2$) é diatômico: à temperatura ambiente, a energia interna conta translação e rotação,

$$U = \frac{5}{2}\,n R T = \frac{5}{2}\,p V$$

$$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{7}{5} = 1{,}4$$

Passo 2 — adiabático: todo o trabalho vira energia interna. Sem troca de calor (Q = 0), a 1ª lei dá que o trabalho realizado sobre o gás é igual ao aumento da energia interna:

$$W = \Delta U = \frac{5}{2}\,(p_f v_f - p_i v_i)$$

Passo 3 — o estado final. Num processo adiabático quase estático, $p\,v^{\gamma}$ fica constante:

$$p_f = p_i\left(\frac{v_i}{v_f}\right)^{1{,}4} = p_i \cdot 2^{1{,}4}$$

$$p_f v_f = p_i\,2^{1{,}4}\cdot\frac{v_i}{2} = p_i v_i\,2^{0{,}4}$$

Passo 4 — o trabalho:

$$W = \frac{5}{2}\,p_i v_i\,(2^{0{,}4} - 1)$$

Conferindo: $2^{0{,}4} \approx 1{,}32$, então $W \approx 0{,}80\,p_i v_i > 0$: numa compressão, o trabalho sobre o gás é positivo e a temperatura sobe ($T_f = T_i\,2^{0{,}4}$). A fórmula geral $W = (p_f v_f - p_i v_i)/(\gamma - 1)$ dá o mesmo, porque $1/(\gamma - 1) = 1/0{,}4 = 5/2$.

⚠️ A armadilha: calcular $p_f = p_i\,2^{1{,}4}$ e esquecer que o volume caiu à metade, usando $p_f v_i$ no lugar de $p_f v_f$. Isso dá $\tfrac{5}{2}p_i v_i(2^{1{,}4} - 1)$, a alternativa E. Já A e D usam o coeficiente 3/2, de gás monoatômico, que não vale para o oxigênio.

A ideia em uma frase: na adiabática, o trabalho sobre o gás é todo variação de energia interna, e pv elevado a γ fica constante.

Resposta: alternativa C ($W = \tfrac{5}{2}p_i v_i(2^{0{,}4} - 1)$).