ITA 2008 — questão 6 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a distância (ao longo da direção de oscilação) entre $P_1$ e $P_2$ num instante dado.

Passo 1 — a frequência angular:

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8/3} = \frac{3\pi}{4}\ \text{rad/s}$$

Passo 2 — as equações, com o relógio zerado quando $P_2$ está no máximo. Escolhendo $t = 0$ no instante em que $P_2$ passa pelo máximo, $x_2 = a\cos(\omega t)$. Como $P_2$ está atrasada π/12 em relação a $P_1$, a fase de $P_1$ está π/12 à frente:

$$x_2 = a\cos(\omega t)$$

$$x_1 = a\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{12}\right)$$

Passo 3 — o instante t = 8/9 s:

$$\omega t = \frac{3\pi}{4}\cdot\frac{8}{9} = \frac{2\pi}{3}\ (120^\circ)$$

$$x_2 = a\cos 120^\circ = -0{,}50\,a$$

$$x_1 = a\cos 135^\circ \approx -0{,}71\,a$$

Passo 4 — a distância. As duas estão do mesmo lado do centro:

$$d = |x_1 - x_2| \approx (0{,}71 - 0{,}50)\,a$$

$$d \approx 0{,}21\,a$$

(Se o máximo fosse o do outro lado, $-a$, as duas posições só trocariam de sinal: a distância seria a mesma.)

Conferindo: a distância exata é $a\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2} - \tfrac{1}{2}\right) = a\cdot\tfrac{\sqrt{2}-1}{2} \approx 0{,}207\,a$.

⚠️ A armadilha: somar os módulos das posições, como se as partículas estivessem em lados opostos do centro: 0,71a + 0,50a ≈ 1,21a (alternativa C). Em 120° e 135° as duas estão do mesmo lado.

A ideia em uma frase: escreva cada MHS como um cosseno com a sua fase; a distância é a diferença das posições no mesmo instante.

Resposta: alternativa D (cerca de 0,21a).