ITA 2008 — questão 2 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: quantas vezes a massa da estrela Gliese 581 cabe na massa do Sol, comparando a órbita do planeta com a da Terra.

Passo 1 — a 3ª lei de Kepler com a massa da estrela. Numa órbita circular, a gravidade da estrela (massa M) é a resultante centrípeta do planeta (massa m):

$$\frac{G M m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r$$

$$M = \frac{4\pi^2}{G}\cdot\frac{r^3}{T^2}$$

A massa do planeta se cancela: por isso o dado "massa igual à da Terra" só serve para garantir que a comparação com a Terra é justa (os dois planetas são muito mais leves que as estrelas).

Passo 2 — a razão entre as massas. Dividindo a expressão da Gliese pela do Sol (com a Terra: r = 1 UA, T = 365 dias):

$$\frac{M_G}{M_S} = \left(\frac{r_G}{r_T}\right)^3 \left(\frac{T_T}{T_G}\right)^2$$

$$\frac{M_G}{M_S} = \left(\frac{1}{14}\right)^3 \left(\frac{365}{13}\right)^2$$

$$\frac{M_G}{M_S} = \frac{788}{2744} \approx 0{,}29$$

Isso dá aproximadamente 0,3.

Conferindo pelo bom senso: uma anã vermelha é uma estrela pequena, mais leve que o Sol; uma razão de algumas décimas faz sentido.

⚠️ A armadilha: trocar o cubo do raio pelo quadrado. Com $(1/14)^2 \times (365/13)^2 = 788/196 \approx 4{,}0$ sai a alternativa E, que diria que uma anã vermelha tem quatro vezes a massa do Sol.

A ideia em uma frase: pela 3ª lei de Kepler, a massa da estrela central é proporcional a $r^3/T^2$ da órbita.

Resposta: alternativa D (cerca de 0,3).