ITA 2008 — questão 18 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: em que ângulo aparece, no anteparo, só a luz de uma das cores.

Passo 1 — "só uma cor" quer dizer. Para ver só $\lambda_1$ num ponto, é preciso que ali haja um máximo de $\lambda_1$ e, ao mesmo tempo, um mínimo (escuro) de $\lambda_2$. Na dupla fenda, a diferença de caminho é $d\,\text{sen}\,\theta$:

$$\text{máximo de } \lambda_1:\ d\,\text{sen}\,\theta = m\,\lambda_1$$

$$\text{mínimo de } \lambda_2:\ d\,\text{sen}\,\theta = \left(k + \tfrac{1}{2}\right)\lambda_2$$

Passo 2 — impor as duas condições. Com $\lambda_1 = 1{,}15\,\lambda_2 = \tfrac{23}{20}\lambda_2$:

$$m \cdot \frac{23}{20} = k + \frac{1}{2}$$

$$23\,m = 10\,(2k + 1)$$

Como 23 e 10 não têm fator comum, m tem de ser múltiplo de 10. O primeiro valor é m = 10, que dá 2k + 1 = 23, isto é, k = 11 (um número ímpar, como precisa). Então:

$$d\,\text{sen}\,\theta = 10\,\lambda_1 = 11{,}5\,\lambda_2$$

$$\theta = \text{arcsen}\left(\frac{10\,\lambda_1}{d}\right)$$

Conferindo as outras: em $5\lambda_1 = 5{,}75\,\lambda_2$ e $15\lambda_1 = 17{,}25\,\lambda_2$ (A e C), $\lambda_2$ não está nem no máximo nem no mínimo: as duas cores aparecem. Em $10\lambda_2 \approx 8{,}70\,\lambda_1$ e $15\lambda_2 \approx 13{,}04\,\lambda_1$ (D e E), $\lambda_1$ não está escura.

Curiosidade: nunca existe um ponto só de $\lambda_2$. Para isso seria preciso $d\,\text{sen}\,\theta = k\lambda_2 = (m + \tfrac{1}{2})\lambda_1$, ou seja, $40k = 46m + 23$: um número par igual a um ímpar, impossível.

⚠️ A armadilha: pensar só no máximo de $\lambda_1$ e escolher qualquer múltiplo inteiro, como $5\lambda_1$ (A). Em todo máximo de $\lambda_1$ há luz de $\lambda_1$; mas, para ser "somente" $\lambda_1$, a outra cor precisa estar escura naquele ponto.

A ideia em uma frase: uma cor aparece sozinha onde o seu máximo coincide com um mínimo da outra.

Resposta: alternativa B ($\theta = \text{arcsen}(10\lambda_1/d)$, só $\lambda_1$).