ITA 2008 — questão 5 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: os expoentes x e y que deixam a fórmula com a unidade certa de intensidade.

Passo 1 — a unidade de I. Intensidade é potência por área, W/m². Como W = J/s = kg·m²/s³:

$$[I] = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^3}{\text{m}^2} = \text{kg}\cdot\text{s}^{-3}$$

Passo 2 — a unidade do lado direito. $2\pi^2$ não tem unidade; $[f] = \text{s}^{-1}$, $[\rho] = \text{kg/m}^3$, $[v] = \text{m/s}$ e $[a] = \text{m}$:

$$[f^x \rho\, v\, a^y] = \text{s}^{-x}\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\,\text{m}^y$$

$$= \text{kg}\cdot\text{m}^{y-2}\cdot\text{s}^{-x-1}$$

Passo 3 — igualar os expoentes:

$$\text{m: } y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$$

$$\text{s: } -x - 1 = -3 \Rightarrow x = 2$$

Conferindo pela física: a energia de vibração por unidade de volume de uma onda é $\tfrac{1}{2}\rho\,\omega^2 a^2 = 2\pi^2 \rho f^2 a^2$; essa energia viaja com velocidade v, e por isso $I = 2\pi^2 f^2 \rho\, v\, a^2$. Exatamente a fórmula com x = 2 e y = 2.

⚠️ A armadilha: tratar a unidade da frequência como segundo (e não s⁻¹). A conta do segundo vira x − 1 = −3, dá x = −2 e leva à alternativa D. Outro descuido é esquecer o "por segundo" que vem junto com a velocidade v.

A ideia em uma frase: a intensidade de uma onda cresce com o quadrado da frequência e com o quadrado da amplitude.

Resposta: alternativa A (x = 2 e y = 2).