ITA 2008 — questão 17 de Física

Gabarito DDinâmica — pêndulo, colisão inelástica e tração no ponto mais baixoProva de Física · testes 1 a 20
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 17 de Física do ITA 2008

Enunciado em texto

Numa brincadeira de aventura, o garoto (de massa M) lança-se por uma corda amarrada num galho de árvore num ponto de altura L acima do gatinho (de massa m) da figura, que pretende resgatar. Sendo g a aceleração da gravidade e H a altura da plataforma de onde se lança, indique o valor da tensão na corda, imediatamente após o garoto apanhar o gato para aterrisá-lo na outra margem do lago.

[Figura: um galho no alto, de onde pende uma corda inclinada; o garoto (M) está pendurado nela, saindo do alto de uma plataforma à direita. No meio do lago, num montinho logo abaixo do galho, está o gato (m). Uma cota vertical L vai do galho até o nível do gato; outra cota, H, vai do nível do gato até o alto da plataforma. À esquerda, a outra margem do lago.]

A) Mg(1+2HL)Mg\left(1 + \dfrac{2H}{L}\right)

B) (M+m)g(1−(M+mM)22HL)(M+m)g\left(1 - \left(\dfrac{M+m}{M}\right)^2 \dfrac{2H}{L}\right)

C) Mg(1−2HL)Mg\left(1 - \dfrac{2H}{L}\right)

D) (M+m)g(1+(MM+m)22HL)(M+m)g\left(1 + \left(\dfrac{M}{M+m}\right)^2 \dfrac{2H}{L}\right)

E) (m+M)g((MM+m)22HL−1)(m+M)g\left(\left(\dfrac{M}{M+m}\right)^2 \dfrac{2H}{L} - 1\right)

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2008, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: a tração na corda logo depois que o garoto agarra o gato, no ponto mais baixo do balanço.

Passo 1 — a velocidade do garoto ao chegar ao gato. O garoto parte do repouso da plataforma e desce uma altura H até o ponto mais baixo (o nível do gato). A tração não realiza trabalho (é perpendicular à trajetória):

M v22=M g H⇒v=2gH\frac{M\,v^2}{2} = M\,g\,H \Rightarrow v = \sqrt{2gH}

Passo 2 — o garoto apanha o gato (choque inelástico). No instante do agarrão, as forças horizontais externas são desprezíveis, e a quantidade de movimento horizontal se conserva. Os dois saem juntos:

M v=(M+m) VM\,v = (M + m)\,V

V=MM+m2gHV = \frac{M}{M+m}\sqrt{2gH}

Passo 3 — a tração no ponto mais baixo. Garoto e gato descrevem um arco de raio L; a resultante entre tração e peso é a centrípeta:

T−(M+m)g=(M+m)V2LT - (M+m)g = \frac{(M+m)V^2}{L}

V2=(MM+m)22gHV^2 = \left(\frac{M}{M+m}\right)^2 2gH

T=(M+m)g [1+X]T = (M+m)g\,[1 + X]

X=(MM+m)22HLX = \left(\frac{M}{M+m}\right)^2 \frac{2H}{L}

Conferindo: sem o gato (m = 0), a fórmula vira Mg(1 + 2H/L), a tração clássica no ponto mais baixo de um pêndulo solto da altura H. E a tração é maior que o peso total, como precisa ser para fazer a curva.

⚠️ A armadilha: a alternativa A é justamente a tração antes de apanhar o gato. Quem esquece o gato, ou esquece que o agarrão é um choque inelástico que reduz a velocidade, cai nela ou em expressões com o fator (M+m)/M invertido, como na B.

A ideia em uma frase: energia até o gato, quantidade de movimento no agarrão, e centrípeta para a tração.

Resposta: alternativa D (T=(M+m)g[1+(M/(M+m))2 2H/L]T = (M+m)g[1 + (M/(M+m))^2\,2H/L]).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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