ITA 2012 — questão 9 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a energia com que o asteroide chega à Terra, expressa em “bombas de 10 megatons”.

Passo 1 — a massa do asteroide. Raio de 1 km = $10^3$ m (o diâmetro é 2 km):

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi\,(10^3)^3$$

$$V \approx 4{,}19 \times 10^{9}\ \text{m}^3$$

$$m = \rho V = 8000 \times 4{,}19 \times 10^{9}$$

$$m \approx 3{,}35 \times 10^{13}\ \text{kg}$$

Passo 2 — a energia ganha na queda. Saindo do repouso “no infinito”, o asteroide ganha a energia potencial gravitacional inteira até a superfície, $GMm/R$. Não temos $G$ nem a massa da Terra, mas temos $g$ e $R$, e $g = GM/R^2$; então $GMm/R = m\,g\,R$:

$$E = m\,g\,R$$

$$E = 3{,}35 \times 10^{13} \times 10 \times 6{,}4 \times 10^{6}$$

$$E \approx 2{,}1 \times 10^{21}\ \text{J}$$

Passo 3 — a energia de uma bomba. 10 megatons = $10 \times 10^6 = 10^7$ toneladas de TNT:

$$E_{\text{bomba}} = 10^{7} \times 4{,}0 \times 10^{9}$$

$$E_{\text{bomba}} = 4{,}0 \times 10^{16}\ \text{J}$$

Passo 4 — quantas bombas:

$$N = \frac{2{,}1 \times 10^{21}}{4{,}0 \times 10^{16}} \approx 5 \times 10^{4}$$

Cerca de 50.000 bombas.

Conferindo: a velocidade de chegada seria $\sqrt{2gR} = \sqrt{2 \times 10 \times 6{,}4 \times 10^6} \approx 11$ km/s, a famosa velocidade de escape da Terra. Faz sentido: cair do infinito é o caminho inverso de escapar.

⚠️ A armadilha: usar o diâmetro (2 km) como raio. O volume fica 8 vezes maior e a conta dá uns 430.000, longe de qualquer opção. Outro erro é usar $mgh$ com uma altura qualquer: a gravidade não é constante desde o infinito; o certo é a energia potencial $GMm/R$.

A ideia em uma frase: um corpo que cai do infinito chega com energia $GMm/R = mgR$: para um asteroide de ferro de 2 km, dezenas de milhares de bombas de hidrogênio.

Resposta: alternativa D (cerca de 50.000 bombas).