ITA 2012 — questão 10 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: julgar duas afirmações sobre duas estrelas girando em círculos em torno do centro de massa comum.

Passo 1 — mesma velocidade angular. O CM fica sempre na reta que une as estrelas, entre elas. Para isso continuar valendo, as duas têm de girar juntas, com o mesmo $\omega$: o mesmo período. Os raios ficam na proporção inversa das massas ($m_1 R_1 = m_2 R_2$):

$$R_1 = \frac{m_2\,d}{m_1 + m_2}$$

$$R_2 = \frac{m_1\,d}{m_1 + m_2}$$

Passo 2 — o período (afirmação I). A atração gravitacional, que depende da distância $d$ entre as estrelas, é a resultante centrípeta da estrela 1:

$$\frac{G\,m_1 m_2}{d^2} = m_1\,\omega^2 R_1$$

$$\frac{G\,m_2}{d^2} = \omega^2\,\frac{m_2\,d}{m_1 + m_2}$$

$$\omega^2 = \frac{G\,(m_1 + m_2)}{d^3}$$

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{d^3}{G\,(m_1 + m_2)}}$$

Só entram $d$, a massa total e $G$. I é verdadeira.

Passo 3 — as áreas (afirmação II). Num círculo, o raio vetor varre a área de um setor: $A_i = \frac{1}{2}R_i^2\,\omega\,\Delta t$. Com o mesmo $\omega$ e o mesmo $\Delta t$:

$$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2$$

As áreas só seriam iguais se as massas fossem iguais. Em geral, a estrela mais leve, com órbita maior, varre mais área. II é falsa.

⚠️ A armadilha: lembrar da 2ª lei de Kepler (“áreas iguais em tempos iguais”) e aceitar a II. Kepler fala da mesma estrela em intervalos diferentes (velocidade areolar constante de cada corpo), não compara as áreas de dois corpos diferentes.

A ideia em uma frase: num binário, as duas estrelas têm o mesmo período, $T^2 = 4\pi^2 d^3/G(m_1 + m_2)$, mas raios diferentes; por isso varrem áreas diferentes.

Resposta: alternativa B (apenas a afirmação I é verdadeira).