ITA 2012 — questão 4 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o tempo entre o disparo e o momento em que o atirador ouve o projétil batendo no alvo. O detalhe: o atirador está de patins e recua com o tiro.

Passo 1 — a velocidade de recuo. Sem atrito, a quantidade de movimento horizontal se conserva. Antes do tiro tudo está parado; depois, o projétil ($m$) vai para o alvo e o resto ($M - m$, porque $M$ incluía o projétil) recua com velocidade $V$:

$$0 = m\,v - (M - m)\,V$$

$$V = \frac{m\,v}{M - m}$$

Passo 2 — o projétil chega ao alvo. Ele percorre $d$ com velocidade $v$:

$$t_1 = \frac{d}{v}$$

Nesse instante, o atirador já recuou $V t_1$; a distância entre ele e o alvo é $d + V t_1$.

Passo 3 — o som volta. O som anda a $v_s$ em relação ao ar parado, mas o atirador continua se afastando a $V$. O som “ganha” dele à taxa $v_s - V$:

$$t_2 = \frac{d + V\,d/v}{v_s - V}$$

Passo 4 — somar e simplificar:

$$t = \frac{d}{v}\left[1 + \frac{v + V}{v_s - V}\right]$$

$$t = \frac{d}{v}\cdot\frac{v_s + v}{v_s - V}$$

Agora troque $V$ pela expressão do Passo 1:

$$v_s - V = \frac{M v_s - m(v_s + v)}{M - m}$$

$$t = \frac{d\,(v_s + v)(M - m)}{v\,[M v_s - m(v_s + v)]}$$

Conferindo: se o atirador fosse muito pesado ($M \to \infty$), ele não recuaria e o tempo deveria ser só ida do projétil mais volta do som. De fato, a expressão tende a $\frac{d(v_s + v)}{v\,v_s} = \frac{d}{v} + \frac{d}{v_s}$.

⚠️ A armadilha: errar o sentido do recuo e achar que o atirador vai ao encontro do som (velocidade relativa $v_s + V$). Refazendo a conta assim, o denominador vira $M v_s - m(v_s - v)$: é exatamente a alternativa D. O atirador recua para longe do alvo, então o som tem de alcançá-lo.

A ideia em uma frase: o tiro empurra o atirador para trás; o som precisa percorrer a distância maior e ainda alcançar alguém que foge dele.

Resposta: alternativa A ($d(v_s+v)(M-m)/v[Mv_s - m(v_s+v)]$).