ITA 2012 — questão 14 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: onde as duas ondas chegam em fase ou em oposição de fase.

Passo 1 — a diferença de fase. As fases são $2\pi(r/\lambda - ft)$ e $2\pi(x/\lambda - ft)$. O termo $ft$ é igual nas duas e se cancela:

$$\Delta\varphi = \frac{2\pi\,(r - x)}{\lambda}$$

Chame de $D = r - x$ a diferença de caminho. Como $r = \sqrt{x^2 + y^2} \geq x$, sempre $D \geq 0$.

Passo 2 — as condições. Em fase: $\Delta\varphi$ múltiplo de $2\pi$, ou seja, $D = n\lambda$. Em oposição: $\Delta\varphi$ múltiplo ímpar de $\pi$, ou seja, $D = (n + \frac{1}{2})\lambda$.

Passo 3 — onde fica $r - x = D$. Isole $r$ e eleve ao quadrado:

$$\sqrt{x^2 + y^2} = x + D$$

$$y^2 = 2xD + D^2$$

$$x = \frac{y^2}{2D} - \frac{D}{2}$$

(São parábolas abertas para $+x$, com foco na origem.)

Passo 4 — oposição de fase. Com $D = (n + \frac{1}{2})\lambda$, então $2D = (2n + 1)\lambda$:

$$x = \frac{y_P^2}{(2n+1)\lambda} - \frac{(n + \frac{1}{2})\lambda}{2}$$

É exatamente a expressão da alternativa D.

Um detalhe: como $D = r - x$ não pode ser negativo, a fórmula vale de fato para $n = 0, 1, 2, \ldots$; a alternativa diz “$n \in \mathbb{Z}$”, uma pequena imprecisão. Mesmo assim, D é a única expressão correta.

Por que não as outras:

(A) Em fase, $D = n\lambda$ dá $x = y_P^2/(2n\lambda) - n\lambda/2$; o termo $n\lambda/8$ está errado.

(B) Essa expressão ($D = n\lambda$) é a de pontos em fase, não em oposição.

(C) Mistura as duas: o primeiro termo usa $D = n\lambda$ e o segundo usa $D = (n + \frac{1}{2})\lambda$. Não corresponde a nenhum $D$.

(E) A expressão $2y_P^2/\lambda - \lambda/8$ vem de $D = \lambda/4$, que dá $\Delta\varphi = 2\pi/4 = 90^{\circ}$, não $45^{\circ}$.

⚠️ A armadilha: marcar (B) por reconhecer a forma certa da parábola sem conferir que ela corresponde a $D = n\lambda$, que é interferência construtiva.

A ideia em uma frase: a diferença de fase vem só da diferença de caminho $r - x$; os pontos com $r - x$ fixo formam parábolas, $x = y^2/(2D) - D/2$.

Resposta: alternativa D ($x = y_P^2/((2n+1)\lambda) - (n+\frac{1}{2})\lambda/2$).