ITA 2009 — questão 8 de Física

Gabarito DHidrostática — empuxo numa balsa de seção triangularProva de Física · testes 1 a 20

Enunciado da questão 8 de Física do ITA 2009 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Uma balsa tem o formato de um prisma reto de comprimento $L$ e seção transversal como vista na figura. Quando sem carga, ela submerge parcialmente até a uma profundidade $h_0$ . Sendo $\rho$ a massa específica da água e $g$ a aceleração da gravidade, e supondo seja mantido o equilíbrio hidrostático, assinale a carga $P$ que a balsa suporta quando submersa a uma profundidade $h_1$ .

[Figura: seção transversal da balsa: um retângulo (o convés) apoiado sobre um triângulo com o vértice para baixo; o ângulo no vértice é $\theta$ . A linha da água corta o triângulo a uma altura $h_0$ acima do vértice; a cota $h_1$ vai do vértice até o topo do triângulo, junto ao convés.]

A) $P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2)\,\text{sen}\,\theta$

B) $P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2)\tan\theta$

C) $P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2)\,\text{sen}\,\theta/2$

D) $P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2)\tan\theta/2$

E) $P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2)2\tan\theta/2$

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2009, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: o peso da carga que faz a balsa afundar de $h_0$ para $h_1$ . (Nas alternativas, " $\tan\theta/2$ " quer dizer $\tan(\theta/2)$ .)

Passo 1 — a área submersa. Até a profundidade $h$ a parte molhada da seção é um triângulo de altura $h$ e ângulo $\theta$ no vértice. A altura divide esse ângulo ao meio, então a meia-largura na linha da água é $h\tan(\theta/2)$ e a largura é $2h\tan(\theta/2)$ :

$A(h) = \frac{2h\tan(\theta/2) \cdot h}{2}$

$A(h) = h^2\tan(\theta/2)$

Passo 2 — o empuxo. O volume submerso é $L \cdot A(h)$ , e o empuxo é o peso da água deslocada (Arquimedes):

$E(h) = \rho g L\,h^2\tan(\theta/2)$

Passo 3 — a carga. Sem carga, o empuxo $E(h_0)$ equilibra o peso da balsa. Com carga, $E(h_1)$ equilibra o peso da balsa mais a carga $P$ . Subtraindo:

$P = E(h_1) - E(h_0)$

$P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2)\tan(\theta/2)$

Conferindo com um caso fácil: com $\theta = 90^{\circ}$ , o triângulo submerso é retângulo e isósceles: largura $2h$ , altura $h$ , área $h^2$ . A fórmula dá $h^2\tan 45^{\circ} = h^2$ . Confere. (Com $\tan\theta$ daria infinito, e com $\text{sen}\,\theta$ daria $h^2$ por coincidência, mas falharia em outros ângulos, como 60°.)

⚠️ A armadilha: esquecer o 1/2 da área do triângulo e usar base × altura: aparece o fator 2, e a resposta vira a alternativa E. Outro erro comum é usar $\tan\theta$ (alternativa B), esquecendo que é a metade do ângulo que liga a meia-largura à altura.

A ideia em uma frase: a carga é o empuxo extra; num casco em V, o volume submerso cresce com o quadrado da profundidade.

Resposta: alternativa D ( $P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2)\tan(\theta/2)$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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ITA 2009 — questão 8 de Física

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