ITA 2009 — questão 6 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: comparar a força sobre a estrela e sua velocidade orbital, com e sem a matéria escura, para o mesmo raio de órbita $r$.

Passo 1 — a gravidade é sempre atrativa. Isso já elimina (D) e (E). A força resultante aponta para o centro da galáxia, e é ela que faz o papel de força centrípeta.

Passo 2 — quanta massa puxa a estrela. Para uma distribuição de massa com simetria esférica, só a massa dentro da esfera de raio $r$ puxa a estrela (como se estivesse toda no centro); as camadas de fora se anulam. Com a matéria escura de densidade uniforme $\rho$, essa massa interna aumenta:

$$M_{\text{int}} = M + \rho \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3$$

Passo 3 — a velocidade orbital. A força gravitacional é a resultante centrípeta:

$$\frac{G\,M_{\text{int}}\,m}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r}$$

$$v = \sqrt{\frac{G\,M_{\text{int}}}{r}}$$

Com a matéria escura, $M_{\text{int}}$ é maior, então, no mesmo raio, a força é maior e a velocidade orbital também.

Um pouco de contexto: foi exatamente assim que a matéria escura foi "descoberta": as estrelas da periferia das galáxias giram mais depressa do que a massa visível explicaria.

⚠️ A armadilha: achar que a matéria escura que está fora da órbita puxa a estrela para fora (alternativas D ou E). Numa distribuição esférica, a casca externa não exerce força resultante sobre o que está dentro dela.

A ideia em uma frase: mais massa dentro da órbita significa mais força centrípeta e, para o mesmo raio, maior velocidade orbital.

Resposta: alternativa C (atrativa, e a velocidade orbital é maior com a matéria escura).