ITA 2017 — questão 7 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: quanto deve valer M/m para que a haste fique encostada na massa do pêndulo, tudo parado.

Passo 1 — a força entre a haste e M. O contato é sem atrito. Para a haste ficar parada, essa força tem de ter torque em relação ao pé da haste, que equilibre o torque do peso; tomamos a força de contato perpendicular à haste (é o que o “apoia-se sem atrito” sugere). Torque em relação ao pé da haste, de comprimento b:

$$N\,b = mg\,\frac{b}{2}\,\text{sen}\,\phi$$

$$N = \frac{mg\,\text{sen}\,\phi}{2}$$

A haste tomba para a direita; M a empurra para cima e para a esquerda, perpendicularmente a ela. Pela 3ª lei, a haste empurra M para a direita e para baixo, com componentes $N\cos\phi$ (horizontal) e $N\,\text{sen}\,\phi$ (vertical, para baixo).

Passo 2 — equilíbrio de M. Sobre M atuam o peso, a tração T do fio (para cima e para a esquerda, a θ da vertical) e N:

$$\text{horizontal: } T\,\text{sen}\,\theta = N\cos\phi$$

$$\text{vertical: } T\cos\theta = Mg + N\,\text{sen}\,\phi$$

Dividindo uma pela outra para eliminar T:

$$Mg = N\cos\phi\cot\theta - N\,\text{sen}\,\phi$$

Passo 3 — a razão. Com $N = mg\,\text{sen}\,\phi/2$:

$$\frac{M}{m} = \frac{\text{sen}\,\phi\,(\cos\phi\cot\theta - \text{sen}\,\phi)}{2}$$

$$\frac{M}{m} = \frac{\text{sen}\,2\phi\cot\theta - 2\,\text{sen}^2\phi}{4}$$

Conferindo: a razão só é positiva se $\tan\phi\tan\theta < 1$, isto é, $\theta + \phi < 90°$; com ângulos maiores, o fio não conseguiria sustentar M contra o empurrão da haste. O atrito no piso equilibra a componente horizontal $N\cos\phi$ no pé da haste.

Comparando com as alternativas: o resultado é a alternativa C com $\text{sen}^2\phi$ no lugar de $\text{sen}^2\theta$. Nenhuma alternativa traz a expressão correta.

⚠️ A armadilha: tomar a força de contato ao longo da haste (como se a haste “escorasse” M de ponta). Uma força ao longo da haste não tem torque em relação ao pé dela, e aí nada equilibraria o torque do peso da haste: ela tombaria.

A ideia em uma frase: torque na haste dá o empurrão N; equilíbrio de forças em M dá a massa; com isso sai $\frac{M}{m} = \frac{\text{sen}\,2\phi\cot\theta - 2\,\text{sen}^2\phi}{4}$.

Resposta: questão anulada pelo ITA no gabarito oficial. A física dá $M/m = (\text{sen}\,2\phi\cot\theta - 2\,\text{sen}^2\phi)/4$, que é a alternativa C com $\text{sen}^2\theta$ trocado por $\text{sen}^2\phi$, ou seja, nenhuma alternativa está certa; além disso, o enunciado não diz em que direção age a força de contato (aqui ela foi tomada perpendicular à haste).