ITA 2017 — questão 1 de Física

Gabarito AAnálise dimensional — potência irradiada em ondas gravitacionaisProva de Física · testes 1 a 20
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 1 de Física do ITA 2017

Enunciado em texto

Ondas gravitacionais foram previstas por Einstein em 1916 e diretamente detectadas pela primeira vez em 2015. Sob determinadas condições, um sistema girando com velocidade angular ww irradia tais ondas com potência proporcional a GcβQγwδGc^{\beta}Q^{\gamma}w^{\delta}, em que GG é a constante de gravitação universal; cc, a velocidade da luz e QQ, uma grandeza que tem unidade em kg.m2^2. Assinale a opção correta.

A) β=−5, γ=2, e δ=6\beta = -5,\ \gamma = 2,\ e\ \delta = 6

B) β=−3/5, γ=4/3\beta = -3/5,\ \gamma = 4/3, e δ=4\delta = 4

C) β=−10/3, γ=5/3\beta = -10/3,\ \gamma = 5/3, e δ=5\delta = 5

D) β=0 γ=1, e δ=3\beta = 0\ \gamma = 1,\ e\ \delta = 3

E) β=−10, γ=3\beta = -10,\ \gamma = 3, e δ=9\delta = 9

(Enunciado: Vestibular ITA 2017, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: os expoentes β, γ e δ que fazem GcβQγwδGc^{\beta}Q^{\gamma}w^{\delta} ter unidade de potência.

Passo 1 — as dimensões de cada peça. Em massa (M), comprimento (L) e tempo (T):

[P]=W=M L2 T−3[P] = \text{W} = M\,L^2\,T^{-3}

[G]=M−1 L3 T−2[G] = M^{-1}\,L^{3}\,T^{-2}

[c]=L T−1[Q]=M L2[c] = L\,T^{-1} \qquad [Q] = M\,L^{2}

[w]=T−1[w] = T^{-1}

A unidade de G sai da própria lei da gravitação, F=GMm/d2F = GMm/d^2: G = N·m²/kg² = m³/(kg·s²), como está no quadro de constantes.

Passo 2 — igualar os expoentes. Multiplicando tudo:

M−1+γ L3+β+2γ T−2−β−δM^{-1+\gamma}\,L^{3+\beta+2\gamma}\,T^{-2-\beta-\delta}

Isso tem de ser igual a M1L2T−3M^1 L^2 T^{-3}. Comparando expoente por expoente:

M: −1+γ=1⇒γ=2M:\ -1 + \gamma = 1 \Rightarrow \gamma = 2

L: 3+β+4=2⇒β=−5L:\ 3 + \beta + 4 = 2 \Rightarrow \beta = -5

T: −2+5−δ=−3⇒δ=6T:\ -2 + 5 - \delta = -3 \Rightarrow \delta = 6

Atalho: a equação da massa já decide: só a alternativa A tem γ = 2.

Conferindo: é exatamente a forma da famosa “fórmula do quadrupolo” de Einstein, em que a potência irradiada é proporcional a Gc5 Q2 w6\dfrac{G}{c^5}\,Q^2\,w^6 (Q faz o papel de um momento de inércia, que tem unidade kg·m²).

⚠️ A armadilha: errar a unidade de G (por exemplo, esquecer o kg no denominador). Com G “sem massa”, a conta da massa daria γ = 1, e o aluno acaba na alternativa D, que não fecha nem o comprimento nem o tempo.

A ideia em uma frase: quando a física é difícil demais, as unidades ainda mandam: monte um sistema com os expoentes de M, L e T e resolva.

Resposta: alternativa A (β = −5, γ = 2 e δ = 6).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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