ITA 2017 — questão 18 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o rendimento do ciclo dividido pelo rendimento de Carnot entre a maior e a menor temperatura do ciclo.

Passo 1 — a pressão em Z (adiabática com γ = 2). Em YZ vale $PV^{\gamma}$ constante:

$$P_Z = P_Y\left(\frac{V_Y}{V_Z}\right)^{2} = 20 \times \frac{1}{4}$$

$$P_Z = 5\ \text{atm}$$

ZX é isobárica, então $P_X = 5$ atm, e XY é isocórica: $V_X = 2{,}0\ \ell$.

Passo 2 — as temperaturas (pelo produto PV, que é nRT). Em atm·ℓ:

$$(PV)_Y = 20 \times 2 = 40$$

$$(PV)_Z = 5 \times 4 = 20$$

$$(PV)_X = 5 \times 2 = 10$$

A maior temperatura é a de Y e a menor, a de X: $T_Y = 4T_X$. A máquina ideal (de Carnot) entre esses extremos teria

$$\eta_C = 1 - \frac{T_X}{T_Y} = 1 - \frac{1}{4} = 0{,}75$$

Passo 3 — os calores do ciclo. Com $C_P/C_V = 2$ e $C_P - C_V = R$: $C_V = R$ e $C_P = 2R$. Assim, $nC_V\Delta T = \Delta(PV)$ e $nC_P\Delta T = 2\,\Delta(PV)$.

XY (isocórica, aquecendo) — calor recebido:

$$Q_{XY} = \Delta(PV) = 40 - 10$$

$$Q_{XY} = 30\ \text{atm}\cdot\ell$$

YZ é adiabática: não troca calor. ZX (isobárica, esfriando) — calor cedido:

$$|Q_{ZX}| = 2\,(20 - 10) = 20\ \text{atm}\cdot\ell$$

Passo 4 — o rendimento do ciclo e a razão:

$$\eta = 1 - \frac{20}{30} = \frac{1}{3}$$

$$\frac{\eta}{\eta_C} = \frac{1/3}{3/4} = \frac{4}{9} \approx 0{,}44$$

Conferindo pelo trabalho: na adiabática, $W_{YZ} = \frac{(PV)_Y - (PV)_Z}{\gamma - 1} = 20$ atm·ℓ; na isobárica, o gás recebe $5 \times 2 = 10$ atm·ℓ de trabalho. Trabalho líquido = 10 atm·ℓ = 30 − 20, como deve ser. (Os valores de R dados não são necessários: tudo sai em atm·ℓ.)

⚠️ A armadilha: responder o rendimento de Carnot, 0,75 (alternativa D), em vez da razão pedida. Outro erro é tomar Y e Z como os extremos de temperatura: o ponto mais frio é X.

A ideia em uma frase: com PV no lugar de nRT, cada calor vira uma variação de PV (vezes 1 a volume constante e vezes 2 a pressão constante, quando γ = 2).

Resposta: alternativa B (4/9 ≈ 0,44).