ITA 2017 — questão 6 de Física

Gabarito EOscilações — pêndulo que perde água e tem o centro de massa descendoProva de Física · testes 1 a 20
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 6 de Física do ITA 2017

Enunciado em texto

Na figura, um tubo fino e muito leve, de área de seção reta SS e comprimento aa, encontra-se inicialmente cheio de água de massa MM e massa específica ρ\rho. Graças a uma haste fina e de peso desprezível, o conjunto forma um pêndulo simples de comprimento LL medido entre o ponto de suspensão da haste e o centro de massa inicial da água. Posto a oscilar, no instante inicial começa a pingar água pela base do tubo a uma taxa constante r=−ΔM/Δtr = -\Delta M/\Delta t. Assinale a expressão da variação temporal do período do pêndulo.

[Figura: haste presa no teto, inclinada, tendo na ponta um tubo de comprimento aa; um ponto marca o centro do tubo, e a cota LL vai do ponto de suspensão até esse centro.]

A) 2πL/g2\pi\sqrt{L}/\sqrt{g}

B) 2πρLS−rt/ρSg2\pi\sqrt{\rho LS - rt}/\sqrt{\rho Sg}

C) 2πρLS+rt/ρSg2\pi\sqrt{\rho LS + rt}/\sqrt{\rho Sg}

D) 2π2ρLS−rt/2ρSg2\pi\sqrt{2\rho LS - rt}/\sqrt{2\rho Sg}

E) 2π2ρLS+rt/2ρSg2\pi\sqrt{2\rho LS + rt}/\sqrt{2\rho Sg}

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2017, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: como o período do pêndulo muda com o tempo enquanto a água pinga.

Passo 1 — onde fica a água que sobra. A água sai pela base, mas a que resta continua no fundo do tubo (a gravidade a mantém lá); quem esvazia é a parte de cima. Com massa M(t)=M0−rtM(t) = M_0 - rt, a coluna tem altura

h(t)=M0−rtρSh(t) = \frac{M_0 - rt}{\rho S}

e, como o tubo começou cheio, M0=ρSaM_0 = \rho S a.

Passo 2 — o novo comprimento do pêndulo. O fundo do tubo está a L+a/2L + a/2 do ponto de suspensão. O centro de massa da coluna fica no meio dela, a h/2h/2 acima do fundo:

ℓ(t)=L+a2−h2\ell(t) = L + \frac{a}{2} - \frac{h}{2}

ℓ(t)=L+a2−a2+rt2ρS\ell(t) = L + \frac{a}{2} - \frac{a}{2} + \frac{rt}{2\rho S}

ℓ(t)=L+rt2ρS\ell(t) = L + \frac{rt}{2\rho S}

O centro de massa desce: o pêndulo fica mais comprido.

Passo 3 — o período. Tratando como pêndulo simples (tubo leve e fino):

T=2πℓg=2π2ρSL+rt2ρSgT = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{2\rho SL + rt}{2\rho S g}}

que é a expressão da alternativa E (vale enquanto ainda há água, isto é, até t=ρSa/rt = \rho S a / r).

Conferindo: em t = 0 volta a 2πL/g2\pi\sqrt{L/g}; e o centro de massa desce metade do que a superfície da água desce, por isso aparece o 2 no denominador.

⚠️ A armadilha: há duas. Achar que a água some “de baixo” e que o centro de massa sobe dá um pêndulo mais curto, a alternativa D. E esquecer que o centro de massa anda só metade do que a superfície anda (fazer ℓ=L+rt/ρS\ell = L + rt/\rho S) dá a alternativa C.

A ideia em uma frase: a água que fica se acomoda no fundo, o centro de massa desce e o período cresce com o tempo.

Resposta: alternativa E (2π2ρLS+rt/2ρSg2\pi\sqrt{2\rho LS + rt}/\sqrt{2\rho Sg}).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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