ITA 2017 — questão 20 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o torque do atrito no eixo, que, com o moinho girando a velocidade constante, é igual ao torque que o jato faz nas pás.

Passo 1 — a velocidade do jato (Torricelli). Na saída de um orifício a uma profundidade h:

$$v = \sqrt{2gh}$$

e a vazão em massa do jato é $\rho S v$.

Passo 2 — o que acontece no choque. A pá, a uma distância R do eixo, anda com velocidade $u = wR$ no mesmo sentido do jato. Choque totalmente inelástico: a água, depois de bater, segue com a velocidade da pá. Cada quilograma de água perde $v - u$ de velocidade.

Passo 3 — a força (teorema do impulso). No modelo usual de roda de pás, com uma pá sempre substituindo a outra, toda a água do jato acaba batendo nas pás; a massa que bate por segundo é $\rho S v$:

$$F = \rho S v\,(v - wR)$$

$$F = \rho S\,2gh\left(1 - \frac{wR}{\sqrt{2gh}}\right)$$

Passo 4 — o torque. Com velocidade angular constante, o torque resultante é nulo, então o torque do atrito é igual (e oposto) ao do jato:

$$\tau = F\,R$$

$$\tau = 2\rho ghRS\left(1 - \frac{wR}{\sqrt{2gh}}\right)$$

que é a expressão da alternativa D.

Conferindo: com o moinho travado (w = 0), o torque é o máximo, $2\rho ghRS$; quando as pás correm na velocidade do jato ($wR = \sqrt{2gh}$), a água não as empurra mais e o torque cai a zero.

Por que a questão é discutível: a conta depende de como se modela a massa que bate por segundo. Se se considera uma única pá, fugindo do jato, a água a alcança só a uma taxa $\rho S(v - wR)$, e o torque fica $2\rho ghRS(1 - wR/\sqrt{2gh})^2$, expressão que não está entre as alternativas. Além disso, o jato não é horizontal até o moinho (ele cai sob a gravidade) e só incide perpendicularmente em cada pá num instante.

⚠️ A armadilha: esquecer que a pá está em movimento e usar a velocidade total do jato no choque. Isso dá $2\rho ghRS$ (alternativa A), que só vale com o moinho parado.

A ideia em uma frase: o jato empurra a pá com a vazão em massa vezes a velocidade relativa, e, com rotação constante, o atrito no eixo cancela esse torque.

Resposta: questão anulada pelo ITA no gabarito oficial. No modelo usual (toda a vazão $\rho S\sqrt{2gh}$ bate nas pás e sai com a velocidade wR), a física dá $2\rho ghRS(1 - wR/\sqrt{2gh})$, a alternativa D; o defeito é que o enunciado não define o modelo do choque com as pás em movimento: considerando uma pá só, a vazão que a atinge é $\rho S(\sqrt{2gh} - wR)$ e o resultado, que não consta das alternativas, seria outro.