ITA 2017 — questão 16 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a densidade média de um planeta, sabendo só o período de uma órbita bem rente à superfície.

Passo 1 — a gravidade faz o papel de resultante centrípeta. Na órbita rasante, o raio da órbita é o raio R do planeta:

$$\frac{GM}{R^2} = \frac{4\pi^2}{T^2}\,R$$

$$M = \frac{4\pi^2 R^3}{G\,T^2}$$

Passo 2 — a densidade. Dividindo pelo volume da esfera, $\frac{4}{3}\pi R^3$, o raio some:

$$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3\pi}{G\,T^2}$$

Passo 3 — a conta:

$$G\,T^2 = 6{,}7\times10^{-11}\times(5400)^2$$

$$G\,T^2 \approx 1{,}95 \times 10^{-3}$$

$$\rho \approx \frac{9{,}42}{1{,}95\times10^{-3}}$$

$$\rho \approx 4{,}8\times10^{3}\ \text{kg/m}^3$$

Como 1 g/cm³ = 1000 kg/m³: ρ ≈ 4,8 g/cm³.

Conferindo: para a Terra, uma órbita rasante leva cerca de 85 min (5 100 s), e a densidade média da Terra é 5,5 g/cm³. Um período um pouco maior dá uma densidade um pouco menor: 4,8 g/cm³ está na faixa certa.

⚠️ A armadilha: achar que falta o raio ou a massa do planeta e tentar usar os dados da Terra do quadro de constantes. Na órbita rasante, o raio se cancela: a densidade depende só do período. Outro tropeço é esquecer de converter kg/m³ em g/cm³ e procurar “4 800” nas alternativas.

A ideia em uma frase: para uma órbita rente à superfície, $\rho = 3\pi/(GT^2)$: o período sozinho entrega a densidade do planeta.

Resposta: alternativa D (4,8 g/cm³).