ITA 2017 — questão 2 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o comprimento mínimo do bastão para que o atrito nos dois pinos consiga segurá-lo parado.

Passo 1 — quem empurra para onde. Olhe a figura com atenção: $Q$ está embaixo do bastão e o sustenta; $P$ está em cima da ponta inferior e a segura para baixo. O bastão funciona como uma gangorra apoiada em $Q$: o peso, aplicado no meio (a $L/2$ de $P$), tende a baixar a parte de cima e levantar a ponta de $P$, e o pino $P$ impede isso. Ao longo do bastão, o peso tende a fazê-lo escorregar para baixo, e quem segura é o atrito nos dois pinos.

Passo 2 — equilíbrio na direção perpendicular ao bastão. As normais são perpendiculares ao bastão; a componente do peso nessa direção é $mg\cos\alpha$. Q empurra “para cima”; P e o peso, “para baixo”:

$$N_Q = N_P + mg\cos\alpha$$

Passo 3 — torque em relação a Q. O peso está a $L/2 - a$ de Q (do lado de cima) e a normal de P está a $a$ de Q (do outro lado). Os torques se cancelam:

$$N_P\,a = mg\cos\alpha\left(\frac{L}{2} - a\right)$$

$$N_P = mg\cos\alpha\,\frac{L - 2a}{2a}$$

Passo 4 — a soma das normais. É ela que limita o atrito total:

$$N_P + N_Q = 2N_P + mg\cos\alpha$$

$$N_P + N_Q = mg\cos\alpha\,\frac{L - a}{a}$$

Passo 5 — o atrito tem de dar conta da componente do peso ao longo do bastão. O atrito máximo nos dois pinos é $\mu(N_P + N_Q)$:

$$\mu\,mg\cos\alpha\,\frac{L-a}{a} \geq mg\,\text{sen}\,\alpha$$

$$\frac{L - a}{a} \geq \frac{\tan\alpha}{\mu}$$

$$L \geq a\left(1 + \frac{\tan\alpha}{\mu}\right)$$

Conferindo: quanto mais íngreme o bastão (tan α maior) ou mais liso o pino (μ menor), maior o L necessário. Faz sentido: um bastão mais comprido faz mais “alavanca” sobre Q, aumenta as duas normais e, com elas, o atrito disponível.

Um detalhe que as alternativas não mostram: também é preciso que o centro do bastão fique além de Q, ou seja, $L \geq 2a$; caso contrário, $N_P$ sairia negativo (o pino P teria de “puxar” o bastão, o que ele não faz). Quando $\tan\alpha \geq \mu$, a condição da alternativa A já garante isso.

⚠️ A armadilha: achar que as duas normais juntas só equilibram o peso ($N_P + N_Q = mg\cos\alpha$). Isso esquece que P empurra para baixo: Q precisa aguentar o peso e a força de P. Com a soma errada, o comprimento sumiria da conta, e nenhuma alternativa apareceria.

A ideia em uma frase: o pino de cima aperta, o de baixo sustenta: as duas normais somam mais que o peso, e é essa soma que alimenta o atrito.

Resposta: alternativa A ($L \geq a(1 + \tan\alpha/\mu)$).