ITA 2022 — questão 7 de Física

Gabarito EDinâmica — centro de massa de dois carrinhos ligados por mola1ª fase · Física

Enunciado da questão 7 de Física do ITA 2022 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Constantes dadas na prova: aceleração local da gravidade $g = 10\ \text{m/s}^2$ . 1 UA $= d_{\text{Terra-Sol}} = 150$ milhões de quilômetros. Velocidade da luz no vácuo $c = 3{,}0\times10^{8}\ \text{m/s}$ .

No laboratório de mecânica, carrinhos de massas $M$ e $2M$ são unidos por uma mola elástica ideal e oscilam livremente em um plano liso com período $T$ . A seguir, o sistema é comprimido contra uma parede por uma força $F$ atuando sobre a massa $M$ , conforme ilustra a figura abaixo. Nessa situação, a mola é sujeita a uma compressão $l$ com respeito ao seu comprimento natural. Em um determinado instante, a massa $M$ é liberada e o sistema entra em movimento. Assinale a alternativa que contém a máxima velocidade atingida pelo centro de massa no movimento subsequente.

[Figura: uma parede vertical à esquerda; encostado nela, o carrinho $2M$ ; à direita dele, ligado por uma mola, o carrinho $M$ . A força $\vec{F}$ , horizontal e para a esquerda, empurra o carrinho $M$ contra o sistema. Os carrinhos estão sobre um piso horizontal.]

A) 0

B) $\dfrac{2\pi l}{T}$

C) $\dfrac{2\pi l}{3T}$

D) $\sqrt{\dfrac{8}{3}}\times\dfrac{\pi l}{T}$

E) $\sqrt{\dfrac{8}{27}}\times\dfrac{\pi l}{T}$

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2022, 1ª fase — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: a maior velocidade que o centro de massa (CM) dos dois carrinhos atinge depois que $M$ é solto.

Passo 1 — a constante da mola a partir do período. Dois corpos ligados por uma mola, livres, oscilam como um corpo só de massa igual à massa reduzida:

$\mu = \frac{M\cdot 2M}{M + 2M} = \frac{2M}{3}$

$T = 2\pi\sqrt{\frac{\mu}{k}} \;\Rightarrow\; k = \frac{4\pi^2\mu}{T^2}$

$k = \frac{8\pi^2 M}{3\,T^2}$

Passo 2 — a primeira fase: $2M$ preso na parede. Enquanto a mola está comprimida, ela empurra $2M$ contra a parede, e $2M$ fica parado. Só $M$ se move, até a mola voltar ao comprimento natural. Nessa fase toda a energia elástica vira energia cinética de $M$ :

$\frac{k\,l^2}{2} = \frac{M\,v^2}{2}$

$v = l\sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{8}{3}}\cdot\frac{\pi\,l}{T}$

Nessa fase a parede empurra o sistema para a direita (força externa), e o CM vai ganhando velocidade.

Passo 3 — a segunda fase: o sistema se solta da parede. A partir do comprimento natural, a mola passa a esticar e puxa $2M$ , que sai da parede. Daí em diante não há força externa horizontal: a velocidade do CM fica constante, e é a maior de todo o movimento:

$v_{CM} = \frac{M\,v + 2M\cdot 0}{3M} = \frac{v}{3}$

$v_{CM} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{8}{3}}\cdot\frac{\pi l}{T}$

$v_{CM} = \sqrt{\frac{8}{27}}\cdot\frac{\pi l}{T}$

Conferindo: os carrinhos continuam oscilando um em relação ao outro, mas o CM anda com velocidade constante. Antes de sair da parede, o CM ia de 0 até esse valor; então esse é mesmo o máximo.

⚠️ A armadilha: dar como resposta a velocidade máxima do carrinho $M$ , $\sqrt{8/3}\,\pi l/T$ (alternativa D), esquecendo de dividir pela massa total. Outro erro é usar a massa $M$ no lugar da massa reduzida no período; aí $k = 4\pi^2M/T^2$ e $v_{CM} = 2\pi l/(3T)$ , a alternativa C.

A ideia em uma frase: enquanto a parede empurra, o CM acelera; quando o sistema se solta, o CM segue com velocidade constante, igual à quantidade de movimento total dividida pela massa total.

Resposta: alternativa E ( $\sqrt{8/27}\cdot\pi l/T$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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