ITA 2022 — questão 10 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: onde pôr o objeto, entre o espelho ($x = 0$) e a lente ($x = 8$ cm), para que nenhuma imagem real se forme depois da lente ($x > 8$ cm).

A ideia-chave: o objeto manda luz para os dois lados. A luz que vai para a direita atravessa a lente direto; a que vai para a esquerda reflete no espelho, forma uma imagem e só então chega à lente. Os dois caminhos precisam ser verificados.

Passo 1 — caminho direto (só a lente). O objeto está a $p = 8 - x$ da lente. Uma lente convergente forma imagem real do outro lado (em $x > 8$) quando o objeto está além do foco, $p > 5$ cm. Para evitar isso:

$$8 - x \le 5 \;\Rightarrow\; x \ge 3\ \text{cm}$$

Com o objeto entre o foco e a lente, a imagem da lente é virtual e fica do lado do objeto.

Passo 2 — caminho pelo espelho. O espelho ($f = 2$ cm) conjuga ao objeto, a uma distância $x$, uma imagem na posição $x^\prime$:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^\prime} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; x^\prime = \frac{2x}{x - 2}$$

Essa imagem serve de objeto para a lente, a uma distância $8 - x^\prime$ dela. Para a lente não formar imagem real em $x > 8$, essa imagem tem de estar entre o foco da lente e a própria lente:

$$3\ \text{cm} \le x^\prime \le 8\ \text{cm}$$

Se $x^\prime < 3$ cm, ela fica além do foco, e a lente forma imagem real à direita. Se $x^\prime > 8$ cm (ou se a imagem do espelho for virtual, para $x < 2$ cm), a lente também leva a luz a convergir à direita.

$$x^\prime = 3:\ 3x - 6 = 2x \Rightarrow x = 6\ \text{cm}$$

$$x^\prime = 8:\ 8x - 16 = 2x$$

$$x \approx 2{,}67\ \text{cm}$$

Para $x > 2$ cm, $x^\prime$ diminui quando $x$ aumenta; a condição vale para $2{,}67\ \text{cm} \le x \le 6\ \text{cm}$.

Passo 3 — as duas condições juntas:

$$x \ge 3 \ \text{e}\ 2{,}67 \le x \le 6$$

$$3\ \text{cm} \le x \le 6\ \text{cm}$$

Conferindo com um ponto: com o objeto em $x = 4$ cm, a lente sozinha vê o objeto a 4 cm (dentro do foco: imagem virtual). O espelho forma imagem em $x^\prime = 8/2 = 4$ cm, que para a lente também está dentro do foco. Nenhuma imagem à direita.

⚠️ A armadilha: esquecer a luz que vai para o espelho e olhar só a lente. Daí sai apenas $x \ge 3$ cm, a alternativa C. Mas, com o objeto entre 6 e 8 cm, o espelho forma uma imagem real além do foco da lente, e a lente projeta essa imagem do lado direito.

A ideia em uma frase: num sistema com espelho e lente, o objeto ilumina os dois: cada caminho da luz tem de ser verificado, e a imagem do espelho vira objeto da lente.

Resposta: alternativa B ($3\ \text{cm} \le x \le 6\ \text{cm}$).