ITA 2022 — questão 15 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a ordem de grandeza da área de painéis solares capaz de fornecer, em média, 54 GW.

Passo 1 — a potência do Sol (E = mc²). A cada segundo, $4{,}3\times10^{6}$ t $= 4{,}3\times10^{9}$ kg de massa viram radiação:

$$P = \frac{\Delta m}{\Delta t}\,c^2 = 4{,}3\times10^{9}\times 9\times10^{16}$$

$$P \approx 3{,}9\times10^{26}\ \text{W}$$

Passo 2 — a intensidade na Terra. Essa potência se espalha por uma esfera de raio 1 UA $= 1{,}5\times10^{11}$ m:

$$4\pi d^2 \approx 4\pi\times 2{,}25\times10^{22}$$

$$4\pi d^2 \approx 2{,}8\times10^{23}\ \text{m}^2$$

$$I = \frac{3{,}9\times10^{26}}{2{,}8\times10^{23}}$$

$$I \approx 1{,}4\times10^{3}\ \text{W/m}^2$$

É a famosa “constante solar”, cerca de 1,4 kW por metro quadrado.

Passo 3 — a potência elétrica por metro quadrado. Com rendimento de 25%:

$$I_{el} \approx 0{,}25\times 1{,}4\times10^{3} = 350\ \text{W/m}^2$$

Passo 4 — a área. Com o painel sempre de frente para o Sol, bastaria:

$$S = \frac{54\times10^{9}}{350} \approx 1{,}6\times10^{8}\ \text{m}^2$$

$$S \approx 160\ \text{km}^2$$

Mas 54 GW é a potência média do dia inteiro, e os painéis só recebem sol durante o dia, mais ou menos metade do tempo. A energia do dia tem de ser guardada para a noite (o enunciado manda desprezar as perdas de armazenamento, não o armazenamento). Para gerar em 12 horas a energia de 24 horas, a área dobra:

$$S \approx 2\times 160 \approx 320\ \text{km}^2$$

Conferindo a ordem de grandeza: mesmo sem o fator da noite, 160 km² está muito mais perto de 320 km² (o dobro) do que de 21 km² (quase 8 vezes menos). Para comparar: 320 km² é um quadrado de uns 18 km de lado.

⚠️ A armadilha: esquecer de passar toneladas para quilogramas. A potência fica 1000 vezes menor e a área, 1000 vezes maior: centenas de milhares de km², o que empurra o aluno para as alternativas D ou E. Uma tonelada são $10^3$ kg.

A ideia em uma frase: a massa que o Sol perde por segundo, vezes c², dá a potência; espalhada numa esfera de 1 UA, sobra cerca de 1,4 kW/m² na Terra.

Resposta: alternativa B (cerca de 320 km²).