ITA 2022 — questão 14 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a corrente induzida no solenoide externo, que está em curto, quando a corrente do interno cresce linearmente.

Passo 1 — o fluxo em cada espira externa. O campo de um solenoide muito longo é uniforme por dentro e praticamente nulo por fora:

$$B = \mu_0\,n_1\,I$$

Uma espira externa, de raio $b$, só é atravessada pelo campo dentro do raio $a$. O anel entre $a$ e $b$ não tem campo:

$$\Phi_1 = \mu_0\,n_1\,I\,\pi a^2$$

Passo 2 — a fem induzida (Faraday). O solenoide externo tem $N_2 = n_2 L$ espiras e $dI/dt = I_0$:

$$\varepsilon = N_2\,\frac{d\Phi_1}{dt}$$

$$\varepsilon = n_2 L\,\mu_0\,n_1\,I_0\,\pi a^2$$

Passo 3 — a resistência do fio. O fio tem comprimento $\ell = n_2 L \cdot 2\pi b$; metade com resistividade $\rho_1$ e metade com $\rho_2$, em série:

$$R = \frac{\rho_1\,(\ell/2)}{A} + \frac{\rho_2\,(\ell/2)}{A}$$

$$R = \frac{(\rho_1+\rho_2)\,n_2 L\,\pi b}{A}$$

Passo 4 — a corrente. Desprezando a autoindutância, $i = \varepsilon/R$:

$$i = \frac{n_2 L\,\mu_0 n_1 I_0\,\pi a^2\cdot A}{(\rho_1+\rho_2)\,n_2 L\,\pi b}$$

$$i = \frac{n_1\,\mu_0\,I_0\,a^2\,A}{b\,(\rho_1+\rho_2)}$$

O número de espiras $n_2 L$ cancela: mais espiras dão mais fem, mas também mais fio e mais resistência, na mesma proporção.

Conferindo pelas unidades: $\mu_0 n_1 I_0$ dá T/s; vezes $a^2$ (m²) dá V; vezes $A/(b\rho)$, que é 1/Ω, dá ampère.

⚠️ A armadilha: usar a área da espira externa, $\pi b^2$, no fluxo. Isso dá $n_1\mu_0 I_0 b A/(\rho_1+\rho_2)$, a alternativa B. O campo do solenoide interno está todo dentro do raio $a$: o resto da espira externa não contribui. Também é erro esquecer que a resistência cresce com o número de espiras.

A ideia em uma frase: a espira externa só “vê” o fluxo de dentro do solenoide interno, e a corrente induzida é fem dividida pela resistência total do fio.

Resposta: alternativa A ($n_1\mu_0 I_0 a^2 A/[b(\rho_1+\rho_2)]$).