ITA 2022 — questão 12 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: quanto tempo a partícula leva para subir até $z = 1{,}0$ m.

Passo 1 — o que age na direção z. O campo magnético é vertical ($\vec{B} = B\hat{k}$). A força magnética $q\,\vec{v}\times\vec{B}$ é sempre perpendicular a $\vec{B}$: ela não tem componente vertical. A componente $E_y$ do campo elétrico também é horizontal. (O enunciado escreve “$E_x = 100$ N/C”, mas pela expressão de $\vec{E}$ se trata de $E_y$; de todo modo, esse valor não entra na conta.) Na vertical sobram o peso e a força elétrica $qE_z$:

$$q\,E_z = 20\times10^{-6}\times 800 = 0{,}016\ \text{N}$$

$$m\,g = 1{,}0\times10^{-3}\times 10 = 0{,}010\ \text{N}$$

Passo 2 — a aceleração vertical. A força elétrica para cima vence o peso:

$$a_z = \frac{0{,}016 - 0{,}010}{1{,}0\times10^{-3}} = 6\ \text{m/s}^2$$

Passo 3 — o movimento em z. A componente da velocidade paralela a $\vec{B}$ é a vertical: $v_z = 2{,}0$ m/s, para cima. Na direção $z$ o movimento é uniformemente variado:

$$z = v_\parallel\,t + \frac{a_z\,t^2}{2}$$

$$1 = 2t + 3t^2$$

$$3t^2 + 2t - 1 = 0$$

$$t = \frac{-2 + \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{1}{3}\ \text{s}$$

$$t \approx 0{,}33\ \text{s}$$

Conferindo: em $t = 1/3$ s, $z = 2\cdot\frac{1}{3} + 3\cdot\frac{1}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ m. Enquanto isso, no plano horizontal, a partícula gira por causa de $\vec{B}$ e deriva por causa de $E_y$, mas nada disso muda o movimento vertical.

⚠️ A armadilha: achar que o campo magnético atrapalha a subida e tentar compor o movimento circular com o vertical. Num campo $\vec{B}$ uniforme, a componente da velocidade paralela a ele não sente força magnética: o movimento em $z$ só depende do peso e de $qE_z$. Outro deslize é esquecer o peso; com $a_z = 16\ \text{m/s}^2$ o tempo seria 0,25 s, que nem está nas alternativas.

A ideia em uma frase: a força magnética é sempre perpendicular a B; ao longo de B, a carga só sente as outras forças e faz um MUV comum.

Resposta: alternativa A ($t = 1/3\ \text{s} \approx 0{,}33$ s).