ITA 2022 — questão 13 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a capacitância equivalente entre dois vértices, numa rede em que cada um dos 6 vértices do octaedro está ligado a todos os outros por um capacitor $C$.

Passo 1 — a simetria. Como todo par de vértices tem um capacitor, a forma do octaedro não importa: são 6 nós, todos ligados entre si. Ligue a fonte entre os vértices $X$ e $Y$. Os outros 4 vértices são equivalentes entre si (cada um está ligado do mesmo jeito a $X$, a $Y$ e aos demais), então ficam todos no mesmo potencial. Os capacitores entre eles não se carregam e podem ser retirados.

Passo 2 — o que sobra. Entre X e Y ficam em paralelo:

• o capacitor direto $X$–$Y$: $C$;

• 4 caminhos $X \to$ vértice $\to Y$, cada um com dois capacitores $C$ em série, ou seja, $C/2$ por caminho.

$$C_{eq} = C + 4\cdot\frac{C}{2}$$

$$C_{eq} = 3\,C$$

Conferindo pela fórmula geral: numa rede de $n$ nós todos ligados entre si por capacitores iguais, a capacitância entre dois nós é $nC/2$. Com $n = 6$, dá $3C$. (Para $n = 3$, um triângulo: $C + C/2 = 3C/2$, que também confere.)

⚠️ A armadilha: ligar só as arestas do octaedro (cada vértice ligado a 4 vizinhos) e esquecer as 3 diagonais. O enunciado é claro: “vizinhos ou não”. Outro erro é esquecer o capacitor direto entre os dois vértices e ficar só com os 4 caminhos, o que dá $2C$, a alternativa B.

A ideia em uma frase: pontos simétricos ficam no mesmo potencial; os capacitores entre eles não carregam e podem ser apagados do circuito.

Resposta: alternativa C (3 C).