ITA 2014 — questão 7 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: como a energia de ionização do “átomo de hidrogênio dentro do cristal” muda quando o elétron tem massa $m_r m_0$ e a força elétrica é enfraquecida pelo meio ($\varepsilon_r$).

Passo 1 — o modelo de Bohr. O elétron gira em círculo, a força de Coulomb é a resultante centrípeta, e o momento angular é quantizado ($mvr = n\hbar$). No meio, a permissividade é $\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$:

$$\frac{e^2}{4\pi\varepsilon r^2} = \frac{m v^2}{r} \qquad m v r = \hbar$$

Resolvendo (estado fundamental), a energia de ionização fica

$$E_{\text{ion}} = \frac{m\,e^4}{2\,(4\pi\varepsilon)^2\,\hbar^2}$$

Passo 2 — a razão. A energia é proporcional à massa e inversamente proporcional ao quadrado da permissividade. Trocando $m_0 \to m_r m_0$ e $\varepsilon_0 \to \varepsilon_r\varepsilon_0$:

$$\frac{E_{\text{imp}}}{E_{\text{H}}} = \frac{m_r}{\varepsilon_r^2}$$

Conferindo: no silício, $\varepsilon_r \approx 12$ e $m_r \approx 0{,}3$; a razão dá cerca de $0{,}002$, ou seja, uns 30 meV em vez de 13,6 eV. É por isso que impurezas doadoras se ionizam facilmente à temperatura ambiente.

⚠️ A armadilha: achar que, como a força cai por $\varepsilon_r$, a energia também cai só por $\varepsilon_r$ (alternativa D). O raio da órbita também aumenta por $\varepsilon_r$, e a energia, que é $\sim e^2/(4\pi\varepsilon r)$, cai por $\varepsilon_r^2$.

A ideia em uma frase: a energia de Bohr é proporcional a $m e^4/\varepsilon^2$: a massa entra direto e a permissividade, ao quadrado.

Resposta: alternativa B ($m_r/\varepsilon_r^2$).