ITA 2014 — questão 20 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a velocidade com que a fonte deve se afastar para que o desvio Doppler (para o vermelho) cancele o ganho de frequência causado pela queda do fóton.

Passo 1 — o ganho de energia na queda. Tratando o fóton como uma partícula de massa efetiva $\mathcal{E}/c^2$, ao descer a altura $d$ ele ganha $(\mathcal{E}/c^2)\,g\,d$. Como $\mathcal{E} = hf$, a frequência aumenta na mesma proporção:

$$\frac{\Delta f}{f} = \frac{\Delta\mathcal{E}}{\mathcal{E}} = \frac{gd}{c^2}$$

Passo 2 — o Doppler da fonte que se afasta. Para $v \ll c$, uma fonte que se afasta faz a frequência recebida cair por um fator $(1 - v/c)$. Juntando os dois efeitos, a frequência $f$ que chega em II é

$$f = f_0\left(1 - \frac{v}{c}\right)\left(1 + \frac{gd}{c^2}\right)$$

Passo 3 — compensação. Para que chegue exatamente $f_0$, desprezando o produto de termos pequenos:

$$\frac{v}{c} = \frac{gd}{c^2} \Rightarrow v = \frac{gd}{c}$$

Conferindo a ordem de grandeza: essa é a experiência de Pound e Rebka (1959), feita numa torre de 22,5 m. Com $d = 22{,}5$ m, $v = 9{,}8 \times 22{,}5/(3 \times 10^8) \approx 7 \times 10^{-7}$ m/s, menos de um milímetro por segundo. As alternativas A e C ($\sqrt{gd}$, da ordem de 15 m/s) são velocidades de queda livre, absurdamente grandes para corrigir um efeito tão pequeno.

⚠️ A armadilha: igualar energias como se fosse queda de um corpo comum, $\tfrac{1}{2}mv^2 = mgd$, e chegar a uma velocidade do tipo $\sqrt{gd}$, como nas alternativas A e C. Aqui não é a velocidade do fóton que muda (ela é sempre $c$), e sim sua frequência; a compensação é pelo efeito Doppler, que é de primeira ordem em $v/c$.

A ideia em uma frase: a queda do fóton aumenta sua frequência na fração $gd/c^2$, e um Doppler de $v/c$ igual a essa fração anula o efeito.

Resposta: alternativa B ($v = gd/c$).