ITA 2014 — questão 5 de Física

Gabarito AEletrostática — capacitor com placa presa a mola: tensão máxima de equilíbrioProva de Física · testes 1 a 20

Enunciado da questão 5 de Física do ITA 2014 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Constantes dadas na prova (símbolos adotados nesta prova): $g$ : módulo da gravidade na superfície da Terra. $G$ : constante gravitacional universal. $c$ : velocidade da luz no vácuo. $\hbar$ : constante de Planck reduzida.

Um capacitor de placas planas paralelas de área $A$ , separadas entre si por uma distância inicial $r_0$ muito menor que as dimensões dessa área, tem sua placa inferior fixada numa base isolante e a superior suspensa por uma mola (figura (1)). Dispondo-se uma massa $m$ sobre a placa superior, resultam pequenas oscilações de período $T$ do conjunto placa superior + massa $m$ . Variando-se $m$ , obtém-se um gráfico de $T^2$ versus $m$ , do qual, após ajuste linear, se extrai o coeficiente angular $\alpha$ . A seguir, após remover a massa $m$ da placa superior e colocando entre as placas um meio dielétrico sem resistência ao movimento, aplica-se entre elas uma diferença de potencial $V$ e monitora-se a separação $r$ de equilíbrio (figuras (2) e (3)). Nestas condições, a permissividade $\varepsilon$ do meio entre as placas é

[Figura (1): uma armação isolante; a placa de baixo está presa na base e a de cima pende de uma mola presa no alto da armação; distância entre as placas $r_0$ ; $V = 0$ . Figura (2): a mesma montagem, agora com o dielétrico $\varepsilon$ entre as placas, distância $r$ e $V \neq 0$ . Figura (3): gráfico de $V$ (vertical) contra $r$ (horizontal): a curva vale zero em $r = r_0$ , sobe à medida que $r$ diminui, atinge o máximo $V_m$ em $r = 2r_0/3$ (linhas tracejadas) e volta a cair para $r$ menores.]

A) $32\pi^2 r_0^3/(27\alpha A V_m^2)$ .

B) $16\pi^2 r_0^3/(27\alpha A V_m^2)$ .

C) $8\pi^2 r_0^3/(27\alpha A V_m^2)$ .

D) $4\pi^2 r_0^3/(\alpha A V_m^2)$ .

E) $16\pi^2 r^3/(27\alpha A V^2)$ .

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2014, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: a permissividade do dielétrico, usando a constante da mola (medida pelas oscilações) e a tensão máxima $V_m$ do gráfico.

Passo 1 — a constante da mola a partir de $\alpha$ . No sistema massa-mola,

$T = 2\pi\sqrt{\frac{M_{\text{placa}} + m}{k}}$

$T^2 = \frac{4\pi^2}{k}\,m + \frac{4\pi^2 M_{\text{placa}}}{k}$

O gráfico $T^2 \times m$ é uma reta de inclinação $\alpha = 4\pi^2/k$ , ou seja, $k = 4\pi^2/\alpha$ .

Passo 2 — a força entre as placas. Cada placa sente o campo criado pela outra, que é metade do campo total $V/r$ . Com carga $Q = \varepsilon A V/r$ :

$F = Q\cdot\frac{V}{2r} = \frac{\varepsilon A V^2}{2r^2}$

Passo 3 — o equilíbrio. Sem tensão, a placa de cima fica em $r_0$ . A atração elétrica a puxa para baixo e a mola se estica $r_0 - r$ a mais:

$k(r_0 - r) = \frac{\varepsilon A V^2}{2r^2}$

$V^2 = \frac{2k}{\varepsilon A}\,r^2(r_0 - r)$

Passo 4 — o máximo da curva. $V$ é máximo onde $r^2(r_0 - r)$ é máximo. Derivando, $2r r_0 - 3r^2 = 0$ , logo $r = 2r_0/3$ , exatamente o que o gráfico mostra. Nesse ponto

$r^2(r_0 - r) = \frac{4r_0^2}{9}\cdot\frac{r_0}{3} = \frac{4r_0^3}{27}$

$V_m^2 = \frac{2k}{\varepsilon A}\cdot\frac{4r_0^3}{27} = \frac{8k\,r_0^3}{27\,\varepsilon A}$

Passo 5 — isolando $\varepsilon$ e trocando $k = 4\pi^2/\alpha$ :

$\varepsilon = \frac{8k\,r_0^3}{27 A V_m^2}$

$\varepsilon = \frac{32\pi^2 r_0^3}{27\,\alpha A V_m^2}$

Conferindo: o fato de o máximo cair em $2r_0/3$ (como no gráfico) confirma o modelo. Acima de $V_m$ não existe equilíbrio: a placa “cola” na outra.

⚠️ A armadilha: calcular a força como $Q\cdot V/r$ , usando o campo total entre as placas. A força fica o dobro, e o resultado sai $16\pi^2 r_0^3/(27\alpha A V_m^2)$ , a alternativa B. A placa não sofre a ação do próprio campo, só do campo da outra, que é a metade.

A ideia em uma frase: a força entre as placas usa só metade do campo; o equilíbrio com a mola tem um ponto de virada em $2r_0/3$ , onde a tensão é máxima.

Resposta: alternativa A ( $\varepsilon = 32\pi^2 r_0^3/(27\alpha A V_m^2)$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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