ITA 2014 — questão 2 de Física

Gabarito CGravitação — leis de Kepler: órbita elíptica × órbita circular de mesmo semieixoProva de Física · testes 1 a 20

Enunciado da questão 2 de Física do ITA 2014 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Constantes dadas na prova (símbolos adotados nesta prova): $g$ : módulo da gravidade na superfície da Terra. $G$ : constante gravitacional universal. $c$ : velocidade da luz no vácuo. $\hbar$ : constante de Planck reduzida.

Considere dois satélites artificiais $S$ e $T$ em torno da Terra. $S$ descreve uma órbita elíptica com semieixo maior $a$ , e $T$ , uma órbita circular de raio $a$ , com os respectivos vetores posição $\vec{r}_S$ e $\vec{r}_T$ com origem no centro da Terra. É correto afirmar que

A) para o mesmo intervalo de tempo, a área varrida por $\vec{r}_S$ é igual à varrida por $\vec{r}_T$ .

B) para o mesmo intervalo de tempo, a área varrida por $\vec{r}_S$ é maior que a varrida por $\vec{r}_T$ .

C) o período de translação de $S$ é igual ao de $T$ .

D) o período de translação de $S$ é maior que o de $T$ .

E) se $S$ e $T$ têm a mesma massa, então a energia mecânica de $S$ é maior que a de $T$ .

(Enunciado: Vestibular ITA 2014, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: comparar períodos, áreas varridas e energias de um satélite em elipse (semieixo maior $a$ ) e outro em círculo (raio $a$ ).

Passo 1 — o período (3ª lei de Kepler). Para corpos girando em torno do mesmo astro, $T^2/a^3$ é a mesma constante, e na elipse quem entra é o semieixo maior:

$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM_{\text{Terra}}}$

Os dois têm o mesmo $a$ , então têm o mesmo período. A C é verdadeira e a D é falsa.

Passo 2 — as áreas varridas (2ª lei). Cada satélite varre área a uma taxa constante: a área total da órbita dividida pelo período. A elipse tem semieixo menor $b < a$ :

$\frac{A_S}{\Delta t} = \frac{\pi a b}{T} \qquad \frac{A_T}{\Delta t} = \frac{\pi a^2}{T}$

Com o mesmo $T$ e $b < a$ , o satélite $S$ varre menos área no mesmo tempo. A e B são falsas.

Passo 3 — a energia. A energia mecânica de uma órbita depende só do semieixo maior:

$E = -\frac{GM_{\text{Terra}}\,m}{2a}$

Mesma massa e mesmo $a$ dão a mesma energia. A E é falsa.

⚠️ A armadilha: lembrar da 2ª lei de Kepler (“áreas iguais em tempos iguais”) e marcar a A. Essa lei compara trechos da mesma órbita; satélites diferentes varrem áreas a taxas diferentes.

A ideia em uma frase: período e energia de uma órbita só dependem do semieixo maior; a “velocidade areolar” é que muda com o formato.

Resposta: alternativa C (os períodos são iguais).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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