ITA 2014 — questão 16 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a maior rotação sem que a água transborde, usando a informação sobre $z$.

Passo 1 — o formato da superfície. No referencial que gira, uma porção de água de massa $m$ a uma altura $y$ e a uma distância $x$ do eixo tem energia potencial gravitacional $mgy$ e energia potencial “centrífuga” $-\tfrac{1}{2}m\omega^2 x^2$. Se todos os pontos da superfície têm a mesma energia,

$$mgy - \tfrac{1}{2}m\omega^2 x^2 = \text{constante}$$

$$y(x) = y_0 + \frac{\omega^2 x^2}{2g}$$

A superfície é uma parábola com o vértice no eixo.

Passo 2 — o desnível entre a borda e o centro. Na parede ($x = a$) a água está mais alta que no eixo:

$$y(a) - y_0 = \frac{\omega^2 a^2}{2g}$$

No limite de transbordar, a água encosta na borda de cima do cilindro, e esse desnível é exatamente o $z$ da figura.

Passo 3 — igualando com o dado.

$$\frac{\omega^2 a^2}{2g} = \frac{h}{3} + \frac{\omega^2 a^2}{4g}$$

$$\frac{\omega^2 a^2}{4g} = \frac{h}{3}$$

$$\omega = \sqrt{\frac{4gh}{3a^2}}$$

Conferindo: a dimensão confere ($g h/a^2$ tem unidade de 1/s²). E o resultado é razoável: cilindro mais alto ($h$ maior) aguenta girar mais rápido; cilindro mais largo ($a$ maior), menos.

De onde vem o $h/3$: a água conserva o volume, e a altura média de um paraboloide fica no meio do caminho entre o vértice e a borda. Com isso, a expressão do enunciado corresponde a água inicialmente parada até $2h/3$ da altura do cilindro.

⚠️ A armadilha: esquecer o fator 1/2 da energia “centrífuga” e escrever o desnível como $\omega^2 a^2/g$. Aí $\omega^2 a^2/g - \omega^2 a^2/(4g) = h/3$ dá $\omega = \sqrt{4gh/(9a^2)}$, a alternativa E.

A ideia em uma frase: água girando forma uma parábola cujo desnível entre a parede e o eixo é $\omega^2 a^2/(2g)$.

Resposta: alternativa D ($\omega = \sqrt{4gh/(3a^2)}$).