ITA 2014 — questão 1 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: quanto a ponta de uma “prateleira” maciça, presa só numa parede, desce por causa do próprio peso.

Passo 1 — a dimensão de cada alternativa. O módulo de Young é tensão (força/área, N/m²), e $\rho g$ é peso por volume (N/m³). Então

$$\left[\frac{\mathcal{E}}{\rho g}\right] = \frac{\text{N/m}^2}{\text{N/m}^3} = \text{m}$$

Ou seja, $\rho g/\mathcal{E}$ tem dimensão de 1/comprimento. Fazendo a conta em cada alternativa, todas dão comprimento: A ($ab$), B ($b^2$), D ($a^4/h^2$) e E ($bh$) multiplicam $\rho g/\mathcal{E}$ por comprimento², e C é $\mathcal{E}/(\rho g)$ vezes um número puro. A análise dimensional sozinha não decide: é preciso pensar na física.

Passo 2 — a largura $b$ não pode importar. Imagine duas vigas iguais, lado a lado, cada uma com largura $b$. Cada uma desce a mesma coisa. Se você colar as duas, vira uma viga de largura $2b$ com o dobro do peso, mas também com o dobro da rigidez: ela desce exatamente o mesmo. Logo a deflexão não depende de $b$. Isso derruba A, B, C e E.

Passo 3 — o sentido das dependências na D. A deflexão deve crescer com $\rho g$ (mais peso), diminuir com $\mathcal{E}$ (material mais rígido), crescer muito com o comprimento $a$ (viga longa “enverga”) e diminuir com a espessura $h$ (viga alta é rígida). A D faz tudo isso:

$$\delta = \frac{3\rho g a^4}{2\mathcal{E} h^2}$$

A C, além de depender de $b$, ainda diz o absurdo de que um material mais rígido (maior $\mathcal{E}$) dobraria mais.

Conferindo pela teoria de vigas (nível universitário): uma viga engastada com carga distribuída $q$ (peso por metro) tem deflexão na ponta $\delta = qa^4/(8\mathcal{E}I)$, com $I = bh^3/12$ (momento de inércia da seção). Aqui $q = \rho g\,bh$:

$$\delta = \frac{\rho g\,bh\,a^4 \cdot 12}{8\,\mathcal{E}\,b h^3}$$

$$\delta = \frac{3\rho g a^4}{2\mathcal{E}h^2}$$

O $b$ cancela, exatamente como previsto no Passo 2, e até o fator 3/2 confere.

⚠️ A armadilha: confiar só na análise dimensional. Como todas as alternativas têm dimensão de comprimento, quem para aí fica no chute. O que decide é o argumento físico da largura (Passo 2) e o sentido das dependências.

A ideia em uma frase: quando a análise dimensional empata, pense em como o resultado deve mudar se você alargar, alongar ou engrossar o objeto.

Resposta: alternativa D ($3\rho g a^4/(2\mathcal{E}h^2)$).