ITA 2014 — questão 3 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: até que nível $h$ a água deve baixar para que a esfera, que tampa o furo, suba e se solte.

Passo 1 — por que a esfera não sobe com a água alta. Por baixo do furo não há água, só ar. A água empurra a parte molhada da esfera (a que fica acima do fundo), e parte desse empurrão é para baixo, sobre a calota de cima. Quanto mais alta a água, mais forte esse aperto. O ar atmosférico age em toda a superfície (inclusive embaixo, pelo furo) e se cancela; dá para trabalhar só com a pressão da água, $\rho g\,(\text{profundidade})$.

Passo 2 — o truque do “furo tampado com água”. Pense na região da esfera acima do fundo: uma calota de altura $a$ e base circular de raio $r$, de volume $V$. Se a base dessa calota também estivesse em contato com a água, a força total da água seria o empuxo comum, $\rho g V$ para cima. Na base, à profundidade $h$, essa água “imaginária” empurraria para cima com $\rho g h\,\pi r^2$. Como na verdade ali não há água, a força real da água é o empuxo menos esse pedaço:

$$F_{\text{água}} = \rho g V - \rho g h\,\pi r^2$$

(positiva = para cima). Baixando $h$, essa força cresce.

Passo 3 — o volume da calota. Uma calota esférica de altura $a$ e base de raio $r$ tem volume

$$V = \frac{\pi a\,(3r^2 + a^2)}{6}$$

(é a fórmula da calota $V = \pi a^2(3R - a)/3$ com o raio da esfera escrito como $R = (r^2 + a^2)/(2a)$, que sai do triângulo retângulo de catetos $r$ e $R - a$.)

Passo 4 — a condição para soltar. A esfera se desprende quando a força da água para cima alcança o peso:

$$\rho g V - \rho g h\,\pi r^2 = m g$$

$$h = \frac{V}{\pi r^2} - \frac{m}{\rho \pi r^2}$$

$$h = \frac{a(3r^2 + a^2)}{6r^2} - \frac{m}{\rho\pi r^2}$$

Conferindo: se a esfera não tivesse massa ($m = 0$), ela se soltaria com $h = V/(\pi r^2)$, o nível em que o “empuxo” da calota empata com a pressão sobre o furo. Com massa, é preciso baixar mais a água, exatamente $m/(\rho\pi r^2)$ a mais. As dimensões também conferem: os dois termos são comprimentos.

⚠️ A armadilha: usar o empuxo de Arquimedes ($\rho g V$) como se a esfera estivesse toda cercada de água. Aqui a parte de baixo não tem água, e o resultado depende do nível $h$. Quem esquece o peso da esfera para na C.

A ideia em uma frase: empuxo é a soma das pressões em toda a volta; se falta água embaixo, subtraia a força que essa água faria.

Resposta: alternativa E ($h = a(3r^2+a^2)/(6r^2) - m/(\rho\pi r^2)$).