ITA 2014 — questão 12 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: qual circuito tem $z_{11} = 4\ \Omega$, $z_{22} = 3\ \Omega$ e $z_{12} = z_{21} = 2\ \Omega$.

Passo 1 — o significado de cada $z$. Pela definição, com $i_2 = 0$ (lado direito em aberto): $z_{11} = v_1/i_1$ é a resistência vista pela esquerda, e $z_{21} = v_2/i_1$ é a tensão que aparece na direita por ampère injetado na esquerda. Com $i_1 = 0$: $z_{22} = v_2/i_2$ é a resistência vista pela direita.

Passo 2 — os circuitos em T (A, B, C). Com resistores $R_a$ (esquerda), $R_b$ (direita) e $R_c$ (central):

$$z_{11} = R_a + R_c \qquad z_{22} = R_b + R_c$$

e $z_{12} = R_c$ (a única resistência comum aos dois lados). Precisaríamos de $R_c = 2$, $R_a = 2$, $R_b = 1$. A tem $z_{11} = 3$; B tem $z_{11} = 7$; C tem $z_{11} = 6$. Nenhum serve.

Passo 3 — o circuito D (em π: 8 Ω, 4 Ω, 4 Ω). Vista pela esquerda, com a direita aberta, o 8 Ω fica em paralelo com o caminho 4 Ω + 4 Ω = 8 Ω:

$$z_{11} = \frac{8 \times 8}{8 + 8} = 4\ \Omega$$

Vista pela direita: o 4 Ω da direita em paralelo com 4 Ω + 8 Ω = 12 Ω:

$$z_{22} = \frac{4 \times 12}{4 + 12} = 3\ \Omega$$

Para $z_{21}$: injetando $i_1$ pela esquerda, a corrente se divide igualmente entre o 8 Ω e o ramo de 8 Ω (4 + 4). Metade passa pelo 4 Ω da direita, cuja tensão é $v_2$:

$$v_2 = 4 \cdot \frac{i_1}{2} = 2\,i_1 \Rightarrow z_{21} = 2\ \Omega$$

A matriz bate inteira.

Conferindo a E (4 Ω, 8 Ω, 4 Ω): $z_{11} = 4 \parallel 12 = 3\ \Omega$, diferente de 4. Não serve.

⚠️ A armadilha: ler os números da matriz direto como os resistores do T (4, 3 e 2 Ω) e marcar a C. Nesse circuito, $z_{11} = 4 + 2 = 6\ \Omega$: no T, cada $z_{ii}$ é a soma do resistor do lado com o central.

A ideia em uma frase: cada elemento da matriz de impedância é uma medida com o outro lado em aberto: resistência equivalente na diagonal, tensão transferida fora dela.

Resposta: alternativa D (π com 8 Ω, 4 Ω e 4 Ω).