ITA 2014 — questão 13 de Física

Gabarito EGravitação — estrela binária e efeito DopplerProva de Física · testes 1 a 20
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 13 de Física do ITA 2014

Enunciado em texto

Constantes dadas na prova (símbolos adotados nesta prova): gg: módulo da gravidade na superfície da Terra. GG: constante gravitacional universal. cc: velocidade da luz no vácuo. ℏ\hbar: constante de Planck reduzida.

Um sistema binário é formado por duas estrelas esféricas de respectivas massas mm e MM, cujos centros distam dd entre si, cada qual descrevendo um movimento circular em torno do centro de massa desse sistema. Com a estrela de massa mm na posição mostrada na figura, devido ao efeito Doppler, um observador TT da Terra detecta uma raia do espectro do hidrogênio, emitida por essa estrela, com uma frequência ff ligeiramente diferente da sua frequência natural f0f_0. Considere a Terra em repouso em relação ao centro de massa do sistema e que o movimento das estrelas ocorre no mesmo plano de observação. Sendo as velocidades das estrelas muito menores que cc, assinale a alternativa que explicita o valor absoluto de (f−f0)/f0(f - f_0)/f_0. Se necessário, utilize (1+x)n≅1+nx(1 + x)^n \cong 1 + nx para x≪1x \ll 1.

[Figura: duas circunferências tracejadas concêntricas em torno do centro de massa (um ponto). A estrela MM, maior, está sobre a circunferência menor, à esquerda do centro; a estrela mm, menor, está sobre a circunferência maior, à direita; as duas e o centro estão numa mesma reta horizontal, e a distância entre as estrelas é dd. O observador TT está abaixo, na vertical do centro de massa; o segmento de TT ao centro e o segmento de TT à estrela mm formam o ângulo α\alpha.]

A) GM2/[d(M+m)c2]\sqrt{GM^2/[d(M+m)c^2]}

B) Gm2 sen2α/[d(M+m)c2]\sqrt{Gm^2\,\text{sen}^2\alpha/[d(M+m)c^2]}

C) Gm2cos⁡2α/[d(M+m)c2]\sqrt{Gm^2\cos^2\alpha/[d(M+m)c^2]}

D) GM2 sen2α/[d(M+m)c2]\sqrt{GM^2\,\text{sen}^2\alpha/[d(M+m)c^2]}

E) GM2cos⁡2α/[d(M+m)c2]\sqrt{GM^2\cos^2\alpha/[d(M+m)c^2]}

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2014, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: o desvio relativo de frequência que o observador mede na luz da estrela mm, que depende da componente da velocidade dela na direção da linha de visada.

Passo 1 — o raio da órbita de mm. As duas giram em torno do centro de massa, com o mesmo período. A distância de mm ao centro de massa é

rm=M dM+mr_m = \frac{M\,d}{M + m}

(a estrela mais leve fica mais longe do centro de massa, como na figura).

Passo 2 — a velocidade angular. A gravitação de MM é a resultante centrípeta de mm:

GMmd2=m ω2rm\frac{GMm}{d^2} = m\,\omega^2 r_m

ω2=G(M+m)d3\omega^2 = \frac{G(M + m)}{d^3}

Passo 3 — a velocidade de mm.

vm2=ω2rm2v_m^2 = \omega^2 r_m^2

vm2=G(M+m)d3⋅M2d2(M+m)2v_m^2 = \frac{G(M+m)}{d^3}\cdot\frac{M^2 d^2}{(M+m)^2}

vm2=GM2d (M+m)v_m^2 = \frac{GM^2}{d\,(M + m)}

Passo 4 — a componente na linha de visada. Na posição da figura, mm está na reta horizontal que passa pelo centro de massa, então sua velocidade (perpendicular ao raio) é vertical. A linha de TT até mm faz ângulo α\alpha com a vertical. A componente que causa o Doppler é

vr=vmcos⁡αv_r = v_m \cos\alpha

Passo 5 — o Doppler para v≪cv \ll c. A frequência fica multiplicada por (1±vr/c)(1 \pm v_r/c), então

∣f−f0f0∣=vmcos⁡αc\left|\frac{f - f_0}{f_0}\right| = \frac{v_m\cos\alpha}{c}

=GM2cos⁡2αd (M+m) c2= \sqrt{\frac{GM^2\cos^2\alpha}{d\,(M+m)\,c^2}}

Conferindo por casos-limite: se M≫mM \gg m, fica vm=GM/dv_m = \sqrt{GM/d}, a velocidade de um planeta em órbita circular de raio dd em torno de uma estrela parada. Certo.

⚠️ A armadilha: usar o seno do ângulo (alternativa D), por achar que a velocidade é horizontal, ou pôr m2m^2 no lugar de M2M^2 (alternativa C), trocando o raio de órbita de uma estrela pelo da outra.

A ideia em uma frase: no Doppler só conta a velocidade ao longo da linha de visada; e no sistema binário a estrela mais leve é a que corre mais.

Resposta: alternativa E (GM2cos⁡2α/[d(M+m)c2]\sqrt{GM^2\cos^2\alpha/[d(M+m)c^2]}).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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