UEM 2019 (Verão, Conhecimentos Específicos) — questão 30 de Física

Gabarito 15Óptica — princípio do tempo mínimo e lei de Snell aplicados ao trajeto de um salva-vidasVestibular de Verão · Conhecimentos Específicos de Física (somatória)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 30 de Física do UEM 2019 (Verão, Conhecimentos Específicos)

Enunciado em texto

Considere os cinco caminhos indicados na figura a seguir, os quais ligam o ponto A ao ponto B. Suponha que no ponto A esteja um salva-vidas, no ponto B esteja um banhista em apuros e que a linha reta horizontal represente a separação entre a praia e o mar (considerado calmo e sem ondas). Considere também que:

i^\hat{i} é o ângulo de incidência em relação à reta normal;

r^\hat{r} é o ângulo de refração em relação à reta normal;

v1v_1 é a velocidade constante do salva-vidas correndo na praia;

v2v_2 é a velocidade constante do salva-vidas nadando no mar, sendo v2=22v1v_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}v_1.

[Figura: o ponto A fica acima (na praia) e o ponto B abaixo (no mar) de uma linha horizontal que separa a praia (em cima) do mar (embaixo). Cinco caminhos ligam A a B. Caminho (1): desce na vertical de A até a linha e daí segue em linha reta até B. Caminho (2): reta inclinada até a linha, chegando com ângulo de 30° em relação à normal; no mar, segue até B fazendo 45° com a normal. Caminho (3): a reta direta de A a B. Caminho (4): reta até a linha, chegando com 45° em relação à normal; no mar, segue até B fazendo 30° com a normal. Caminho (5): reta de A até o ponto da linha que fica verticalmente acima de B e, daí, desce na vertical até B.]

O salva-vidas pretende alcançar o banhista no menor tempo possível. Sabe-se também que a condição de tempo mínimo implica a validade da lei de Snell, tanto nesse contexto quanto na Óptica. Assinale o que for correto para que o salva-vidas parta do ponto A e atinja o ponto B no menor tempo possível.

(01) Ele não deverá escolher o caminho (1).

(02) Ele não deverá escolher o caminho (2), pois não obedece à relação sen i^sen r^=v1v2\frac{\text{sen}\,\hat{i}}{\text{sen}\,\hat{r}} = \frac{v_1}{v_2}.

(04) Ele não deverá escolher o caminho (3), embora este represente a menor distância entre dois pontos dados em uma superfície plana.

(08) Ele deverá escolher o caminho (4), pois obedece à relação sen i^sen r^=v1v2\frac{\text{sen}\,\hat{i}}{\text{sen}\,\hat{r}} = \frac{v_1}{v_2}.

(16) Ele deverá escolher o caminho (5).

(Enunciado e figura: Vestibular UEM 2019 (Verão), Conhecimentos Específicos — UEM/CVU.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Universidade Estadual de Maringá (UEM), Comissão Central do Vestibular Unificado (CVU).

Resolução comentada

O que a questão pede: descobrir qual caminho satisfaz a lei de Snell, que é a condição de tempo mínimo.

Passo 1 — a relação exigida:

sen i^sen r^=v1v2=12/2=2\frac{\text{sen}\,\hat{i}}{\text{sen}\,\hat{r}} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2}

Como ele corre mais rápido do que nada, o trecho na areia deve ser mais inclinado (ângulo maior com a normal) que o trecho na água.

Passo 2 — testando os caminhos com ângulos indicados:

(2): sen 30∘sen 45∘=0,50,71≈0,71(2):\ \frac{\text{sen}\,30^{\circ}}{\text{sen}\,45^{\circ}} = \frac{0{,}5}{0{,}71} \approx 0{,}71

(4): sen 45∘sen 30∘=0,710,5≈1,41(4):\ \frac{\text{sen}\,45^{\circ}}{\text{sen}\,30^{\circ}} = \frac{0{,}71}{0{,}5} \approx 1{,}41

Só o caminho (4) dá 2\sqrt{2}.

(01) Verdadeira. O caminho (1) não é o de tempo mínimo: ele chega à linha com i^=0\hat{i} = 0 e entra no mar inclinado, o que viola Snell (seno nulo de um lado e não nulo do outro); além disso, põe um trecho longo justamente na água, onde ele é mais lento.

(02) Verdadeira. O caminho (2) dá razão ≈0,71\approx 0{,}71, e não 2\sqrt{2}: os ângulos estão trocados.

(04) Verdadeira. A reta (3) é o caminho mais curto, mas não o mais rápido, porque as velocidades nos dois meios são diferentes.

(08) Verdadeira. O caminho (4) satisfaz sen 45∘sen 30∘=2=v1v2\frac{\text{sen}\,45^{\circ}}{\text{sen}\,30^{\circ}} = \sqrt{2} = \frac{v_1}{v_2}.

(16) Falsa. O caminho escolhido deve ser o (4), não o (5). (O (5) também viola Snell: entra na água na vertical, r^=0\hat{r} = 0, depois de chegar inclinado.)

⚠️ A armadilha: achar que menor distância é menor tempo. Com velocidades diferentes, compensa andar mais na areia, onde se é mais rápido, e menos na água.

A ideia em uma frase: o caminho de tempo mínimo obedece a sen î / sen r̂ = v₁/v₂, exatamente como a luz na refração.

Resposta: soma 15 (01 + 02 + 04 + 08).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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