ITA 2021 — questão 7 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a frequência original $f$ em função da pequena queda $\Delta f$ provocada pela massa extra $m$.

Passo 1 — a frequência do massa-mola, antes e depois. A mola é a mesma (mesmo $k$); só a massa muda:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}}$$

$$f\prime = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M+m}}$$

Passo 2 — a razão, e a aproximação dada. Dividindo uma pela outra:

$$\frac{f\prime}{f} = \left(1 + \frac{m}{M}\right)^{-1/2}$$

Como $\Delta f \ll f$, a massa extra é pequena perto de $M$ ($m/M \ll 1$). Use $(1+x)^n \approx 1 + nx$ com $x = m/M$ e $n = -1/2$:

$$\frac{f\prime}{f} \approx 1 - \frac{m}{2M}$$

Passo 3 — isolar $f$:

$$\Delta f = f - f\prime = \frac{m}{2M}\,f$$

$$f = \frac{2M\,\Delta f}{m}$$

Conferindo: quanto maior a massa $m$ acrescentada, maior a queda $\Delta f$ para a mesma $f$, como esperado; e a expressão é adimensional na razão $M/m$, multiplicando uma frequência.

⚠️ A armadilha: esquecer a raiz e tratar $f$ como inversamente proporcional a $M$. Aí $\Delta f/f = m/M$ e sai $f = M\Delta f/m$ (alternativa C). A frequência varia com $1/\sqrt{M}$, e é o expoente $-1/2$ que traz o fator 2.

A ideia em uma frase: como $f \propto M^{-1/2}$, um aumento relativo pequeno $m/M$ na massa reduz a frequência na metade disso: $\Delta f/f = m/(2M)$.

Resposta: alternativa E ($f = 2M\Delta f/m$).