ITA 2021 — questão 11 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a razão entre as massas das esferas para que, depois dos dois contatos, as três fiquem com a mesma carga.

Passo 1 — como a carga se divide num contato. No equilíbrio, as esferas ligadas ficam no mesmo potencial. Uma esfera isolada de raio $R$ com carga $q$ tem potencial $V = K_0 q/R$. Mesmo $V$ significa carga proporcional ao raio: a esfera maior fica com mais carga.

Passo 2 — o resultado final. A carga total $Q$ (que estava em E$_1$) se conserva. Se no fim as três têm a mesma carga, cada uma tem $Q/3$.

Passo 3 — o primeiro contato (E$_1$ com E$_2$). E$_1$ não participa do segundo contato, então já sai dele com sua carga final, $Q/3$; E$_2$ fica com $2Q/3$. Carga proporcional ao raio:

$$\frac{q_2}{q_1} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{2Q/3}{Q/3} = 2$$

Passo 4 — o segundo contato (E$_2$ com E$_3$). E$_2$ leva $2Q/3$ e as duas terminam com $Q/3$ cada: divisão meio a meio, logo $R_3 = R_2$.

Passo 5 — de raios para massas. Os raios estão na razão $1 : 2 : 2$. As esferas são maciças e do mesmo material, então a massa é proporcional ao volume, isto é, ao cubo do raio:

$$m_1 : m_2 : m_3 = 1^3 : 2^3 : 2^3 = 1 : 8 : 8$$

Conferindo: com raios 1, 2, 2: no primeiro contato $q_1 = Q\cdot\frac{1}{3}$ e $q_2 = Q\cdot\frac{2}{3}$; no segundo, $2Q/3$ se divide igualmente entre raios iguais, $Q/3$ e $Q/3$. Três cargas iguais.

⚠️ A armadilha: parar nos raios e marcar 1:2:2 (alternativa B). A pergunta é sobre as massas, que crescem com $R^3$. Também é erro achar que todo contato divide a carga ao meio: isso só vale para esferas iguais.

A ideia em uma frase: no contato, a carga se reparte na proporção dos raios (mesmo potencial); para ter cargas iguais, os raios ficam 1 : 2 : 2, e as massas, 1 : 8 : 8.

Resposta: alternativa E (1:8:8).