ITA 2021 — questão 14 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o formato do gráfico de $|\vec{B}|$ em função da distância $r$ ao eixo, dentro do buraco, na parede do tubo e fora dele.

A ferramenta — lei de Ampère. Pela simetria, as linhas de campo são circunferências em torno do eixo e $|\vec{B}|$ só depende de $r$. Numa circunferência de raio $r$:

$$B \cdot 2\pi r = \mu_0\, I_{\text{interna}}$$

Região 1 — no buraco ($r < R/2$): nenhuma corrente fica dentro da circunferência. Então $B = 0$.

Região 2 — na parede ($R/2 < r < R$): a corrente interna é a densidade $J$ vezes a área do anel entre $R/2$ e $r$:

$$I_{\text{int}} = J\,\pi\left(r^2 - \frac{R^2}{4}\right)$$

$$B = \frac{\mu_0 J}{2}\left(r - \frac{R^2}{4r}\right)$$

Em $r = R/2$ isso dá zero: o campo começa do zero, sem salto. Depois cresce, mas não em linha reta: a inclinação $\frac{\mu_0 J}{2}\left(1 + \frac{R^2}{4r^2}\right)$ vai diminuindo (de $\mu_0 J$ em $R/2$ para $\frac{5}{8}\mu_0 J$ em $R$). A curva é côncava para baixo. Em $r = R$, $B = \frac{3}{8}\mu_0 J R$, o valor máximo.

Região 3 — fora ($r > R$): toda a corrente, $I = \frac{3}{4}\pi J R^2$, fica dentro da circunferência:

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{3\mu_0 J R^2}{8r}$$

Em $r = R$ dá o mesmo $\frac{3}{8}\mu_0 JR$ (o campo é contínuo) e depois cai como $1/r$, tendendo a zero.

Comparando: zero até $R/2$, subida curva a partir de zero até o pico em $R$, queda tendendo a zero. É o gráfico A.

Por que não as outras: B e D tendem a um valor constante diferente de zero longe do cilindro, mas o campo de uma corrente cai a zero ($\propto 1/r$). C e D têm campo constante na parede e um salto em $R/2$; E também salta em $R/2$ e cresce em linha reta. Não há salto, porque em $r = R/2$ a corrente interna ainda é zero.

⚠️ A armadilha: lembrar do cilindro maciço, em que $B \propto r$ por dentro, e escolher a subida em linha reta da alternativa E. No tubo oco, a corrente interna cresce com $r^2 - R^2/4$, o campo parte de zero em $R/2$ e a subida é curva.

A ideia em uma frase: pela lei de Ampère, só conta a corrente dentro da circunferência: zero no buraco, crescendo suavemente na parede e constante fora, onde o campo cai como 1/r.

Resposta: alternativa A.