ITA 2021 — questão 1 de Física

Gabarito BFísica moderna — unidades atômicas de Hartree (análise dimensional)1ª fase · Física
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 1 de Física do ITA 2021

Enunciado em texto

Constantes dadas na prova: … Velocidade da luz no vácuo c=3,0×108 m/sc = 3{,}0 \times 10^{8}\ \text{m/s}. Constante de Planck reduzida ℏ=1,05×10−34 J.s\hbar = 1{,}05 \times 10^{-34}\ \text{J.s}. … Carga elétrica elementar e=1,6×10−19 Ce = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C}. Massa do elétron m0=9,1×10−31 kgm_0 = 9{,}1 \times 10^{-31}\ \text{kg}. Constante eletrostática do vácuo K0=9,0×109 N.m2.C−2K_0 = 9{,}0 \times 10^{9}\ \text{N.m}^2\text{.C}^{-2}.

O sistema de unidades atômicas de Hartree é bastante útil para a descrição de sistemas quânticos microscópicos. Nele, faz-se com que a carga fundamental ee, a massa do elétron m0m_0, a constante eletrostática do vácuo K0K_0 e a constante de Planck reduzida ℏ\hbar sejam todas numericamente iguais à unidade. Assinale a alternativa que contém a ordem de grandeza do valor numérico da velocidade da luz no vácuo cc, nesse sistema de unidades.

A) 10010^{0}

B) 10210^{2}

C) 10410^{4}

D) 10610^{6}

E) 10810^{8}

(Enunciado: Vestibular ITA 2021, 1ª fase — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: quanto vale o número que mede cc quando a “régua” de velocidade é a do sistema de Hartree.

Passo 1 — qual é a unidade de velocidade nesse sistema. Se ee, m0m_0, K0K_0 e ℏ\hbar valem 1, a unidade de velocidade é a combinação dessas constantes que tem dimensão de velocidade. A força elétrica é K0e2/r2K_0e^2/r^2, então K0e2K_0e^2 é força vezes distância ao quadrado; e ℏ\hbar é energia vezes tempo:

[K0e2]=kg⋅m3/s2[K_0 e^2] = \text{kg}\cdot\text{m}^3/\text{s}^2

[ℏ]=kg⋅m2/s[\hbar] = \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}

Dividindo, o quilograma cancela e sobra exatamente metro por segundo:

v0=K0 e2ℏ → m/sv_0 = \frac{K_0\,e^2}{\hbar} \ \to\ \text{m/s}

(Montando o sistema de expoentes para K0e2K_0e^2, ℏ\hbar e m0m_0, essa é a única combinação com dimensão de velocidade; a massa do elétron nem entra.)

Passo 2 — o valor dessa unidade no SI:

K0e2=9,0×109⋅(1,6×10−19)2K_0e^2 = 9{,}0\times10^{9}\cdot(1{,}6\times10^{-19})^2

K0e2≈2,30×10−28 J⋅mK_0e^2 \approx 2{,}30\times10^{-28}\ \text{J}\cdot\text{m}

v0=2,30×10−281,05×10−34v_0 = \frac{2{,}30\times10^{-28}}{1{,}05\times10^{-34}}

v0≈2,2×106 m/sv_0 \approx 2{,}2\times10^{6}\ \text{m/s}

Passo 3 — medir cc com essa régua. O número que representa cc é quantas vezes ela cabe em v0v_0:

cv0=3,0×1082,2×106≈137\frac{c}{v_0} = \frac{3{,}0\times10^{8}}{2{,}2\times10^{6}} \approx 137

Como 137=1,37×102137 = 1{,}37 \times 10^{2} e 1,37<10≈3,161{,}37 < \sqrt{10} \approx 3{,}16, a ordem de grandeza é 10210^{2}.

Conferindo: v0≈2,2×106v_0 \approx 2{,}2\times10^{6} m/s é a velocidade do elétron na primeira órbita de Bohr do hidrogênio, e 1/1371/137 é a famosa constante de estrutura fina. Tudo coerente.

⚠️ A armadilha: responder 10810^{8} (alternativa E), copiando o valor de cc no SI. Mudar o sistema de unidades muda o número que mede a grandeza: aqui a régua de velocidade vale 2,2×1062{,}2\times10^{6} m/s, então o número cai para cerca de 137.

A ideia em uma frase: num sistema de unidades em que ee, K0K_0 e ℏ\hbar valem 1, a unidade de velocidade é K0e2/ℏK_0e^2/\hbar, e a luz é cerca de 137 vezes mais rápida que ela.

Resposta: alternativa B (c≈137c \approx 137, ordem 10210^{2}).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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