ITA 2021 — questão 5 de Física

Gabarito CHidrodinâmica — equação de Bernoulli (Torricelli com pistão) e alcance do jato1ª fase · Física
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 5 de Física do ITA 2021

Enunciado em texto

Constantes dadas na prova: Aceleração local da gravidade g=10 m/s2g = 10\ \text{m/s}^2. …

Um recipiente, de secção de área constante e igual a AA, é preenchido por uma coluna de líquido de densidade ρ\rho e altura HH. Sobre o líquido encontra-se um pistão de massa MM, que pode se deslocar verticalmente livre de atrito. Um furo no recipiente é feito a uma altura hh, de tal forma que um filete de água é expelido conforme mostra a figura. Assinale a alternativa que contém o alcance horizontal DD do jato de água.

[Figura: recipiente vertical cheio de líquido (densidade ρ\rho) até a altura HH, medida do fundo até a base do pistão. Sobre o líquido, um pistão em forma de T, de massa MM. Na parede direita, um furo à altura hh do fundo, de onde sai um jato que começa horizontal e cai em arco. DD é a distância horizontal da parede do recipiente até o ponto onde o jato chega ao nível do fundo. À direita, o vetor g⃗\vec{g} vertical para baixo.]

A) 2(H−h)(h+mρA)2\sqrt{(H-h)\left(h+\frac{m}{\rho A}\right)}

B) 2h(H−h+mρA)\sqrt{2h\left(H-h+\frac{m}{\rho A}\right)}

C) 2h(H−h+mρA)2\sqrt{h\left(H-h+\frac{m}{\rho A}\right)}

D) 2h(H−h+m2ρA)2\sqrt{h\left(H-h+\frac{m}{2\rho A}\right)}

E) h(H−h+mρA)\sqrt{h\left(H-h+\frac{m}{\rho A}\right)}

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2021, 1ª fase — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: o alcance horizontal do jato que sai do furo, levando em conta que o pistão empurra o líquido.

Antes de começar: o enunciado chama a massa do pistão de MM, mas as alternativas escrevem mm. É a mesma massa; leia m=Mm = M nas alternativas.

Passo 1 — a velocidade de saída (Bernoulli). No topo do líquido a pressão é a atmosférica mais o peso do pistão dividido pela área, p0+Mg/Ap_0 + Mg/A. No jato, logo fora do furo, a pressão é p0p_0. Como o furo é pequeno perto da secção AA, o topo desce muito devagar e sua velocidade pode ser desprezada. Entre o topo (altura HH) e o furo (altura hh):

MgA+ρg(H−h)=ρv22\frac{Mg}{A} + \rho g (H - h) = \frac{\rho v^2}{2}

v2=2g(H−h+MρA)v^2 = 2g\left(H - h + \frac{M}{\rho A}\right)

Repare: o pistão funciona como uma coluna extra de líquido de altura M/(ρA)M/(\rho A).

Passo 2 — o tempo de queda. O jato sai na horizontal, a uma altura hh do nível do fundo:

t=2hgt = \sqrt{\frac{2h}{g}}

Passo 3 — o alcance:

D=v t=2g(H−h+MρA)⋅2hgD = v\,t = \sqrt{2g\left(H-h+\frac{M}{\rho A}\right)\cdot\frac{2h}{g}}

D=2h(H−h+MρA)D = 2\sqrt{h\left(H-h+\frac{M}{\rho A}\right)}

Conferindo: sem pistão (M=0M = 0) fica D=2h(H−h)D = 2\sqrt{h(H-h)}, o resultado clássico do recipiente furado. E o termo M/(ρA)M/(\rho A) tem dimensão de comprimento, como H−hH - h.

⚠️ A armadilha: trocar os papéis das alturas, usando a profundidade do furo como altura de queda e vice-versa: aparece o produto (H−h)(h+… )(H-h)(h + \dots) da alternativa A. Quem desce pela coluna de líquido (e pelo pistão) é a velocidade; quem dá o tempo de queda é a altura hh do furo.

A ideia em uma frase: o pistão soma à coluna de líquido uma altura equivalente M/(ρA)M/(\rho A); com Torricelli se acha a velocidade, e com a queda de altura hh se acha o alcance.

Resposta: alternativa C (D=2h(H−h+M/ρA)D = 2\sqrt{h(H-h+M/\rho A)}).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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