ITA 2021 — questão 4 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a velocidade de cada satélite para que o triângulo gire rígido, sem mudar de tamanho.

Passo 1 — a órbita. Por simetria, o centro de massa é o centro do triângulo. Para as distâncias ficarem constantes, cada satélite tem de fazer um movimento circular uniforme em torno desse centro, com raio igual à distância do vértice ao centro:

$$r = \frac{2}{3}\cdot\frac{d\sqrt3}{2} = \frac{d}{\sqrt3}$$

Passo 2 — a força resultante sobre um satélite. Os outros dois o puxam com forças de mesmo módulo $Gm^2/d^2$, cada uma a $30^{\circ}$ da direção do centro. As componentes laterais se cancelam e as componentes para o centro se somam:

$$F = 2\,\frac{Gm^2}{d^2}\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt3\,Gm^2}{d^2}$$

Passo 3 — essa força é a resultante centrípeta:

$$\frac{m v^2}{d/\sqrt3} = \frac{\sqrt3\,Gm^2}{d^2}$$

$$v^2 = \frac{\sqrt3\,Gm}{d^2}\cdot\frac{d}{\sqrt3} = \frac{Gm}{d}$$

$$v = \sqrt{\frac{Gm}{d}}$$

Conferindo pela velocidade angular: $\omega^2 = v^2/r^2 = 3Gm/d^3$, ou seja, $\omega^2 = G(3m)/d^3$: é a 3ª lei de Kepler com a massa total $3m$ e o lado $d$, um resultado clássico para esse arranjo.

⚠️ A armadilha: usar $d$ como raio da órbita. Com $\omega^2 = 3Gm/d^3$ e $v = \omega d$, sai $\sqrt{3Gm/d}$ (alternativa E). O raio da órbita é a distância ao centro do triângulo, $d/\sqrt3$, e não o lado.

A ideia em uma frase: cada satélite gira em torno do centro do triângulo, e a soma vetorial das atrações dos outros dois é a resultante centrípeta.

Resposta: alternativa B ($v = \sqrt{Gm/d}$).