ITA 2020 — questão 5 de Física

Gabarito CGravitação — de órbita parabólica a elíptica (equação vis-viva)1ª fase · Física

Enunciado da questão 5 de Física do ITA 2020 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Constantes dadas na prova: Considere $g$ como o módulo da aceleração local da gravidade e, quando necessário, use $g = 10\ \text{m/s}^2$ .

Um satélite artificial viaja em direção a um planeta ao longo de uma trajetória parabólica. A uma distância $d$ desse corpo celeste, propulsores são acionados de modo a, a partir daquele instante, mudar o módulo da velocidade do satélite de $v_p$ para $v_e$ e também a sua trajetória, que passa a ser elíptica em torno do planeta, com semieixo maior $a$ . Sendo a massa do satélite desproporcionalmente menor que a do planeta, a razão $v_e/v_p$ é dada por

A) $\sqrt{\dfrac{d}{a} - \dfrac{1}{2}}$ .

B) $\sqrt{\dfrac{d}{2a}}$ .

C) $\sqrt{1 - \dfrac{d}{2a}}$ .

D) $\sqrt{1 + \dfrac{d}{2a}}$ .

E) $\sqrt{1 - \dfrac{d}{a}}$ .

(Enunciado: Vestibular ITA 2020, 1ª fase — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: a razão entre a velocidade logo depois da manobra ( $v_e$ , órbita elíptica) e a velocidade logo antes ( $v_p$ , trajetória parabólica), na mesma distância $d$ do planeta.

Passo 1 — trajetória parabólica. Parábola é o caso-limite entre órbita fechada e escape: a energia mecânica total é zero. Então, a uma distância $d$ (com $M$ a massa do planeta):

$\frac{v_p^2}{2} - \frac{GM}{d} = 0$

$v_p^2 = \frac{2GM}{d}$

Passo 2 — órbita elíptica. Numa elipse de semieixo maior $a$ , a energia por unidade de massa vale $-GM/(2a)$ . Daí sai a equação vis-viva:

$\frac{v_e^2}{2} - \frac{GM}{d} = -\frac{GM}{2a}$

$v_e^2 = GM\left(\frac{2}{d} - \frac{1}{a}\right)$

Passo 3 — a razão:

$\frac{v_e^2}{v_p^2} = \frac{2/d - 1/a}{2/d} = 1 - \frac{d}{2a}$

$\frac{v_e}{v_p} = \sqrt{1 - \frac{d}{2a}}$

Conferindo: a razão é menor que 1 — os propulsores freiam o satélite, como deve ser para passar de uma trajetória aberta a uma fechada. E se a órbita for circular de raio $d$ ( $a = d$ ): $v_e/v_p = 1/\sqrt{2}$ , que é a razão conhecida entre a velocidade orbital e a de escape.

⚠️ A armadilha: confundir semieixo maior com eixo maior, escrevendo a energia da elipse como $-GM/a$ . A conta vira $1 - d/a$ , a alternativa E.

A ideia em uma frase: parábola tem energia zero, elipse tem energia $-GM/(2a)$ ; compare as duas na mesma distância.

Resposta: alternativa C ( $\sqrt{1 - d/(2a)}$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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