ITA 2020 — questão 4 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a razão entre os diâmetros $D_2/D_1$ para que a água saia das 30 mangueiras finas com velocidade suficiente para um alcance máximo de 40 m.

Passo 1 — a velocidade de saída. O alcance horizontal de um lançamento oblíquo (saindo do nível do chão) é máximo a 45°, e vale $v^2/g$:

$$\frac{v_2^2}{g} = 40 \;\Rightarrow\; v_2^2 = 400$$

$$v_2 = 20\ \text{m/s}$$

Passo 2 — a velocidade na mangueira grossa: $360\ \text{m/min} = 360/60 = 6\ \text{m/s}$.

Passo 3 — continuidade. A água é incompressível: o volume por segundo que entra pela mangueira grossa sai, dividido, pelas 30 finas:

$$\frac{\pi D_1^2}{4}\,v_1 = 30\cdot\frac{\pi D_2^2}{4}\,v_2$$

$$D_1^2 \cdot 6 = 30 \cdot D_2^2 \cdot 20$$

$$\frac{D_2^2}{D_1^2} = \frac{6}{600} = \frac{1}{100}$$

$$\frac{D_2}{D_1} = \frac{1}{10}$$

Conferindo: área total de saída $30 \times (1/10)^2 = 0{,}3$ da área de entrada; a velocidade sobe na razão inversa, $6/0{,}3 = 20$ m/s. Fecha.

⚠️ A armadilha: esquecer que a vazão se divide entre as 30 mangueiras e escrever $D_1^2 \cdot 6 = D_2^2 \cdot 20$: dá $D_2/D_1 = \sqrt{3/10}$, a alternativa B.

A ideia em uma frase: alcance máximo dá a velocidade ($v^2 = gA$), e a continuidade (área × velocidade constante, somando as 30 saídas) dá os diâmetros.

Resposta: alternativa A (1/10).