ITA 2020 — questão 13 de Física

Gabarito CEletrostática — três pêndulos elétricos em equilíbrio (triângulo equilátero)1ª fase · Física

Enunciado da questão 13 de Física do ITA 2020 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Constantes dadas na prova: Considere $g$ como o módulo da aceleração local da gravidade e, quando necessário, use $g = 10\ \text{m/s}^2$ .

Três esferas idênticas de massa $m$ , carga elétrica $Q$ e dimensões desprezíveis, são presas a extremidades de fios isolantes e inextensíveis de comprimento $l$ . As demais pontas dos fios são fixadas a um ponto $P$ , que sustenta as massas. Na condição de equilíbrio do sistema, verifica-se que o ângulo entre um dos fios e a direção vertical é $\theta$ , conforme mostra a figura. Sendo $\varepsilon_0$ a permissividade elétrica do meio, o valor da carga elétrica $Q$ é dada por

[Figura: o ponto $P$ no alto, sobre uma reta vertical tracejada. Dele saem três fios de comprimento $l$ , cada um com uma esfera de massa $m$ e carga $Q$ na ponta, vistas em perspectiva. O ângulo $\theta$ é marcado entre um dos fios e a vertical tracejada. À direita, $\vec{g}$ para baixo.]

A) $l\sqrt{12\pi\varepsilon_0 mg\ \operatorname{sen}\theta\cos\theta}$ .

B) $l\sqrt{4\pi\varepsilon_0 mg\ \operatorname{tg}\theta\sqrt{3}}$ .

C) $l\operatorname{sen}\theta\sqrt{4\pi\varepsilon_0 mg\ \operatorname{tg}\theta\sqrt{3}}$ .

D) $l\operatorname{sen}\theta\sqrt{\dfrac{4\pi\varepsilon_0 mg\ \operatorname{tg}\theta}{\sqrt{3}}}$ .

E) $l\operatorname{sen}\theta\sqrt{4\pi\varepsilon_0 mg\ \operatorname{tg}\theta}$ .

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2020, 1ª fase — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: a carga $Q$ de cada esfera, dado o ângulo $\theta$ que os fios fazem com a vertical.

Passo 1 — a geometria. Por simetria, as três esferas ficam num mesmo plano horizontal, nos vértices de um triângulo equilátero centrado na vertical que passa por $P$ . Cada esfera está a uma distância $r = l\,\operatorname{sen}\theta$ do eixo. Num triângulo equilátero, o lado é $\sqrt{3}$ vezes o raio do círculo circunscrito:

$s = \sqrt{3}\;l\,\operatorname{sen}\theta$

Passo 2 — a força elétrica resultante numa esfera. Cada uma das outras duas a repele com $F = \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 s^2}$ . As duas forças fazem 60° entre si, e a resultante aponta para fora, a partir do centro (30° de cada uma):

$F_R = 2F\cos 30^{\circ} = \sqrt{3}\,F$

Passo 3 — o equilíbrio de cada esfera. Peso, tração e $F_R$ (horizontal). Como no pêndulo comum:

$F_R = m\,g\,\operatorname{tg}\theta$

$\frac{\sqrt{3}\,Q^2}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 3\,l^2\operatorname{sen}^2\theta} = m\,g\,\operatorname{tg}\theta$

Passo 4 — isolar $Q$ . Use $3/\sqrt{3} = \sqrt{3}$ :

$Q^2 = 4\pi\varepsilon_0\,mg\,\operatorname{tg}\theta\,\sqrt{3}\;l^2\operatorname{sen}^2\theta$

$Q = l\,\operatorname{sen}\theta\sqrt{4\pi\varepsilon_0\,mg\,\operatorname{tg}\theta\sqrt{3}}$

Conferindo: se $\theta \to 0$ (esferas quase juntas na vertical), $Q \to 0$ , como deve ser. E a dimensão: $4\pi\varepsilon_0 \cdot (\text{força}) \cdot (\text{distância})^2$ tem dimensão de carga², pela própria lei de Coulomb.

⚠️ A armadilha: usar como distância entre as esferas o raio $l\,\operatorname{sen}\theta$ , e não o lado $\sqrt{3}\,l\,\operatorname{sen}\theta$ . A equação vira $\sqrt{3}\,Q^2/(4\pi\varepsilon_0 l^2\operatorname{sen}^2\theta) = mg\,\operatorname{tg}\theta$ e leva à alternativa D, com o $\sqrt{3}$ no denominador.

A ideia em uma frase: triângulo equilátero de lado $\sqrt{3}\,l\,\operatorname{sen}\theta$ , resultante elétrica $\sqrt{3}F$ para fora, e equilíbrio de pêndulo: $F_R = mg\,\operatorname{tg}\theta$ .

Resposta: alternativa C ( $l\,\operatorname{sen}\theta\sqrt{4\pi\varepsilon_0 mg\,\operatorname{tg}\theta\sqrt{3}}$ ).

Vídeo em breve

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