ITA 2020 — questão 1 de Física

Gabarito BAnálise dimensional — fórmula dimensional de κμ numa teoria em N dimensões1ª fase · Física

Enunciado da questão 1 de Física do ITA 2020 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Constantes dadas na prova: Considere $g$ como o módulo da aceleração local da gravidade e, quando necessário, use $g = 10\ \text{m/s}^2$ .

Considere uma teoria na qual a força de interação entre duas “cargas generalizadas” $q_1$ e $q_2$ em universos $N$ -dimensionais é expressa por $F_e = q_1 q_2/(\kappa r^{N-1})$ , em que $\kappa$ é uma constante característica do meio. A teoria também prevê uma força entre dois “polos generalizados” $p_1$ e $p_2$ expressa por $F_m = p_1 p_2/(\mu r^{N-1})$ , na qual $\mu$ é outra constante característica do meio. Sabe-se ainda que um polo $p$ pode interagir com uma corrente de carga, $i$ , gerando uma força $F = ip/(r^{N-2})$ . Em todos os casos, $r$ representa a distância entre os entes interagentes. Considerando as grandezas fundamentais massa, comprimento, tempo e corrente de carga, assinale a alternativa que corresponde à fórmula dimensional de $\kappa\mu$ .

A) $L^2T^{-2}$

B) $L^{-2}T^{2}$

C) $L^{-2}T^{-2}$

D) $L^{1-N}T^{2}$

E) $L^{-2}T^{N-1}$

(Enunciado: Vestibular ITA 2020, 1ª fase — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: as dimensões do produto $\kappa\mu$ , usando massa (M), comprimento (L), tempo (T) e corrente (I) como grandezas fundamentais.

Passo 1 — as grandezas que já conhecemos. Força é massa vezes aceleração, e carga é corrente vezes tempo (é isso que “corrente de carga” quer dizer: carga por unidade de tempo):

$[F] = M\,L\,T^{-2} \qquad [q] = I\,T$

Passo 2 — a dimensão do polo $p$ . Da força entre polo e corrente, $F = ip/r^{N-2}$ , isolamos $p = F\,r^{N-2}/i$ :

$[p] = \frac{M\,L\,T^{-2}\,L^{N-2}}{I}$

$[p] = M\,L^{N-1}\,T^{-2}\,I^{-1}$

Passo 3 — $\kappa$ e $\mu$ . Das duas leis de força, $\kappa = q^2/(F\,r^{N-1})$ e $\mu = p^2/(F\,r^{N-1})$ . Em vez de calcular cada um, multiplique direto:

$\kappa\mu = \frac{q^2\,p^2}{F^2\,r^{2N-2}}$

Repare que $p^2/F^2 = r^{2N-4}/i^2$ (do Passo 2). Então:

$\kappa\mu = \frac{q^2}{i^2}\cdot\frac{r^{2N-4}}{r^{2N-2}}$

$\kappa\mu = \frac{q^2}{i^2\,r^2}$

Passo 4 — as dimensões. Como $[q/i] = T$ :

$[\kappa\mu] = \frac{T^2}{L^2} = L^{-2}\,T^{2}$

Conferindo: no nosso mundo ( $N = 3$ ) as fórmulas viram as da eletrostática e da magnetostática, com $\kappa$ fazendo o papel de $4\pi\varepsilon_0$ e $\mu$ o de $4\pi\mu_0$ (polos magnéticos medidos em weber). E lá vale $\varepsilon_0\mu_0 = 1/c^2$ : o produto tem dimensão de (velocidade) $^{-2}$ , isto é, $L^{-2}T^{2}$ . E o $N$ some, como tinha de sumir.

⚠️ A armadilha: calcular $\kappa$ e $\mu$ separadamente e escorregar num expoente de $r$ (repare que a força polo–corrente tem $r^{N-2}$ , e não $r^{N-1}$ ). Com um expoente errado o $N$ não cancela, e o aluno cai na D ou na E, as únicas com $N$ . Outro tropeço é esquecer que carga não é fundamental aqui: $[q] = I\,T$ .

A ideia em uma frase: escreva tudo em M, L, T e I, multiplique as fórmulas antes de substituir, e $\kappa\mu$ vira $q^2/(i^2 r^2)$ , que tem dimensão de 1/(velocidade)².

Resposta: alternativa B ( $L^{-2}T^{2}$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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